Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde:

• `[AD] \perp [BC]` (AD, BC'ye diktir), bu da `m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ADC}) = 90^\circ` olduğu anlamına gelir.
• `|BD| = |DC|` (D noktası BC kenarının orta noktasıdır).
• `m(\widehat{ABD}) = 50^\circ`.

Bir üçgende, bir kenara ait yükseklik aynı zamanda o kenara ait kenarortay ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir ve yükseklik aynı zamanda açıortaydır.

Bu durumda, `\triangle ABC` bir ikizkenar üçgendir ve `|AB| = |AC|`'dir. Ayrıca, `[AD]` açısı `\widehat{BAC}`'nin açıortayıdır, yani `m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD})`'dir.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

A) `m(\widehat{ACB}) = 50^\circ`

• `\triangle ABC` ikizkenar üçgen olduğundan `|AB| = |AC|` ve taban açıları eşittir: `m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB})`.
• Verilen bilgiye göre `m(\widehat{ABD}) = 50^\circ`'dir. `\widehat{ABD}` açısı `\widehat{ABC}` açısı ile aynıdır.
• Dolayısıyla, `m(\widehat{ABC}) = 50^\circ` ve bu nedenle `m(\widehat{ACB}) = 50^\circ`'dir.
• Bu ifade doğrudur.

B) `m(\widehat{CAD}) = 40^\circ`

• `\triangle ABD` bir dik üçgendir (`m(\widehat{ADB}) = 90^\circ`).
• Üçgenin iç açıları toplamı `180^\circ` olduğundan: `m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ`.
• `m(\widehat{BAD}) + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ`.
• `m(\widehat{BAD}) + 140^\circ = 180^\circ`.
• `m(\widehat{BAD}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ`.
• `[AD]` açısı `\widehat{BAC}`'nin açıortayı olduğundan `m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{BAD})`'dir.
• Bu nedenle, `m(\widehat{CAD}) = 40^\circ`'dir.
• Bu ifade doğrudur.

C) `|AB| = |AC|`

• Yukarıda belirtildiği gibi, `[AD]` hem yükseklik hem de kenarortay olduğu için `\triangle ABC` ikizkenar üçgendir ve `|AB| = |AC|`'dir.
• Bu ifade doğrudur.

D) `m(\widehat{BAC}) = 100^\circ`

• `m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{CAD})`'dir.
• B seçeneğinde `m(\widehat{BAD}) = 40^\circ` ve `m(\widehat{CAD}) = 40^\circ` bulmuştuk.
• Dolayısıyla, `m(\widehat{BAC}) = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ`'dir.
• Seçenekte verilen `m(\widehat{BAC}) = 100^\circ` ifadesi yanlıştır.

Soru, hangi ifadenin yanlış olduğunu sorduğundan, doğru cevap D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.