Verilen bilgilere göre soruyu adım adım çözelim:

• Şekildeki $\triangle ABC$ üçgeninde, $[BA] \perp [CA]$ olduğu belirtilmiştir. Bu, $\angle BAC = 90^\circ$ olduğu anlamına gelir. Yani, $\triangle ABC$ bir dik üçgendir.
• $[AD]$ doğru parçası $\angle A$'nın açıortayıdır. $\angle BAC = 90^\circ$ olduğundan, açıortay bu açıyı iki eşit parçaya böler: $$ \angle BAD = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $$
• $\triangle ABD$ üçgenine bakalım. Verilen bilgilere göre $\angle B = 45^\circ$ ve yukarıda bulduğumuz $\angle BAD = 45^\circ$. İki açısı eşit olan bir üçgen ikizkenar üçgendir. $$ \angle B = \angle BAD = 45^\circ \implies AD = BD $$
• Soruda $BD = 6$ cm olarak verilmiştir. Bu durumda $AD = 6$ cm olur.
• Ayrıca, $DC = 6$ cm olarak verilmiştir. Yani $BD = DC = 6$ cm'dir. Bu, D noktasının BC kenarının orta noktası olduğu anlamına gelir.
• Bir dik üçgende (burada $\triangle ABC$), hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. D noktası BC'nin orta noktası ve AD kenarortay olduğuna göre, $AD = BD = DC = 6$ cm olmalıdır. Bu, $AD=6$ cm bulgumuzu doğrular.
• Şimdi $\triangle ADC$ üçgenine bakalım. $AD = 6$ cm ve $DC = 6$ cm'dir. Ayrıca $\angle CAD = 45^\circ$ olduğunu biliyoruz. $AD = DC$ olduğu için $\triangle ADC$ de ikizkenar bir üçgendir ve taban açıları eşittir: $$ \angle C = \angle CAD = 45^\circ $$
• Buna göre, $\triangle ABC$ üçgeninin açıları şunlardır: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Bu, $\triangle ABC$'nin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösterir. İkizkenar dik üçgende dik kenarlar birbirine eşittir: $AB = AC$.
• Hipotenüs $BC = BD + DC = 6 + 6 = 12$ cm'dir.
• İkizkenar dik üçgende, dik kenarlar $x$ ise hipotenüs $x\sqrt{2}$'dir. Yani $AB = AC = x$ dersek, $BC = x\sqrt{2}$ olur. $$ x\sqrt{2} = 12 \implies x = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} $$
• Dolayısıyla, $AB = 6\sqrt{2}$ cm ve $AC = 6\sqrt{2}$ cm'dir.
• $\triangle ABC$'nin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır: $$ A(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times (6\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2}) $$ $$ A(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times (36 \times 2) = \frac{1}{2} \times 72 = 36 \text{ cm}^2 $$

Cevap C seçeneğidir.