Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde $|AB| = |AC|$ olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir. Ayrıca, $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC})$ olduğu belirtilmiştir, bu da AD'nin A açısının açıortayı olduğunu gösterir.

İkizkenar bir üçgende, tepe açısından (eşit kenarlar arasındaki açıdan) çizilen açıortay aynı zamanda hem kenarortay hem de yüksekliktir. Bu bilgiyi kullanarak seçenekleri değerlendirelim:

• A) $|BD| = |DC|$: AD, ikizkenar üçgenin tepe açısından çizilen açıortay olduğu için aynı zamanda kenarortaydır. Bu nedenle D noktası BC kenarının orta noktasıdır ve $|BD| = |DC|$ eşitliği doğrudur.
• B) $[AD] \perp [BC]$: AD, ikizkenar üçgenin tepe açısından çizilen açıortay olduğu için aynı zamanda yüksekliktir. Bu nedenle AD, BC kenarına diktir. Yani $[AD] \perp [BC]$ ifadesi doğrudur.
• C) $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB})$: İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. $|AB| = |AC|$ olduğu için bu kenarların karşısındaki açılar olan $m(\widehat{ACB})$ ve $m(\widehat{ABC})$ birbirine eşittir. Bu ifade doğrudur.
• D) $|AD| = |AC|$: Bu ifade, AD uzunluğunun AC uzunluğuna eşit olduğunu belirtir. Bu, genel bir ikizkenar üçgen özelliği değildir. Örneğin, eğer bu doğru olsaydı, ADC üçgeni de ikizkenar olurdu ve $m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ACD})$ olurdu. Ancak B seçeneğinden bildiğimiz üzere $m(\widehat{ADC}) = 90^\circ$'dir. Dolayısıyla $m(\widehat{ACD})$'nin de $90^\circ$ olması gerekirdi ki bu durumda ABC üçgeni C noktasında dik açılı bir ikizkenar üçgen olurdu. Bu her zaman geçerli bir durum değildir. Bu nedenle $|AD| = |AC|$ ifadesi genellikle yanlıştır.

Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.