Üçgenin yüksekliklerinin bir köşede kesişmesi için, üçgenin dik açılı bir üçgen olması gerekir. Dik açılı üçgenlerde, dik kenarlar aynı zamanda yüksekliklerdir ve dik açının bulunduğu köşede kesişirler. Üçüncü yükseklik de bu köşeden geçer.

Bu bilgiye dayanarak seçenekleri inceleyelim:

• A) Verilen açılar $65^\circ$ ve $55^\circ$. Üçüncü açı $180^\circ - (65^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Hiçbir açı $90^\circ$ değildir.
• B) Verilen açılar $60^\circ$ ve $60^\circ$. Üçüncü açı $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Bu bir eşkenar üçgendir ve hiçbir açı $90^\circ$ değildir.
• C) Verilen açılar $50^\circ$ ve $40^\circ$. Üçüncü açı $180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Bu bir dik açılı üçgendir. Yükseklikler, $90^\circ$'lik açının bulunduğu A köşesinde kesişir.
• D) Verilen açılar $20^\circ$ ve $80^\circ$. Üçüncü açı $180^\circ - (20^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Hiçbir açı $90^\circ$ değildir.

Sadece C seçeneğindeki üçgen dik açılıdır, bu nedenle yükseklikleri bir köşede kesişir.

Cevap C seçeneğidir.