Verilen noktalı kağıttaki PAT üçgeninin köşelerinin koordinatlarını belirleyelim. A noktasını (0,0) kabul edersek:

• A = (0,0)
• T = (6,0)
• P = (3,4)

Şimdi kenar uzunluklarını hesaplayalım:

• $|AT| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2} = 6$ birim
• $|PA| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ birim
• $|PT| = \sqrt{(6-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ birim

Kenar uzunlukları $|PA| = |PT| = 5$ birim ve $|AT| = 6$ birimdir. Bu durumda PAT üçgeni bir ikizkenar üçgendir (PA = PT).

Şimdi verilen ifadeleri değerlendirelim:

I. P açısından çizilen açıortay aynı zamanda kenarortaydır.

• İkizkenar üçgenlerde, tepe açısından (burada P açısı) çizilen açıortay, aynı zamanda karşı kenara ait kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikmedir. PA = PT olduğu için P tepe açısıdır ve bu ifade doğrudur.

II. Açıortayları iç bölgesinde kesişir.

• Bir üçgenin tüm açıortayları her zaman üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada (iç teğet çemberin merkezi) kesişir. Bu, tüm üçgenler için geçerli temel bir özelliktir. Bu ifade doğrudur.

III. Yükseklikleri dış bölgesinde kesişir.

• Yüksekliklerin kesişim noktası (ortosantr), üçgenin türüne göre farklı yerlerde bulunur:
  • Dar açılı üçgenlerde iç bölgede.
  • Dik açılı üçgenlerde dik açının olduğu köşede.
  • Geniş açılı üçgenlerde dış bölgede.
• Üçgenin açılarını kontrol edelim. En uzun kenar AT (6 birim) olduğu için, bu kenarın karşısındaki P açısı en büyük açıdır. Kosinüs teoremini kullanarak P açısını bulalım:
  $|AT|^2 = |PA|^2 + |PT|^2 - 2 \cdot |PA| \cdot |PT| \cdot \cos(P)$
  $6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(P)$
  $36 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos(P)$
  $36 = 50 - 50 \cdot \cos(P)$
  $50 \cdot \cos(P) = 14$
  $\cos(P) = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$
  $\cos(P)$ pozitif olduğu için P açısı dar açıdır ($P < 90^\circ$).
• Diğer açılar A ve T de ikizkenar üçgenin taban açıları olup dar açıdır. Dolayısıyla PAT üçgeni bir dar açılı üçgendir.
• Dar açılı üçgenlerde yüksekliklerin kesişim noktası (ortosantr) üçgenin iç bölgesindedir. Bu nedenle, "Yükseklikleri dış bölgesinde kesişir" ifadesi yanlıştır.

Sonuç olarak, I ve II numaralı ifadeler doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.