Sorunun Çözümü
- Şekil 1'deki merdivenin her bir basamağının yüksekliği $h_1$ olsun. Toplam yükseklik $A = 2h_1$'dir. Toplam yatay uzunluk $2 \times 50 cm = 100 cm$'dir. Eğim $m_1 = \frac{2h_1}{100} = \frac{h_1}{50}$'dir.
- Şekil 2'deki merdivenin her bir basamağının yüksekliği $h_2$ olsun. Toplam yükseklik $B = 4h_2$'dir. Toplam yatay uzunluk $4 \times 40 cm = 160 cm$'dir. Eğim $m_2 = \frac{4h_2}{160} = \frac{h_2}{40}$'dir.
- Eğimler eşit olduğu için $\frac{h_1}{50} = \frac{h_2}{40}$ eşitliğini yazabiliriz. Bu ifadeyi sadeleştirirsek $\frac{h_1}{5} = \frac{h_2}{4}$ olur.
- $h_1$ ve $h_2$ tam sayı olduğundan, $h_1 = 5k$ ve $h_2 = 4k$ şeklinde ifade edilebilir, burada $k$ bir pozitif tam sayıdır.
- Merdivenlerin toplam yükseklikleri $A = 2h_1 = 2(5k) = 10k$ ve $B = 4h_2 = 4(4k) = 16k$ olur.
- Soruda merdivenlerin yüksekliklerinin 100 cm'den fazla olduğu belirtilmiştir:
- $A > 100 cm \Rightarrow 10k > 100 \Rightarrow k > 10$.
- $B > 100 cm \Rightarrow 16k > 100 \Rightarrow k > 6.25$.
- Her iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı $k$ değeri $k = 11$'dir.
- $k = 11$ için $A = 10 \times 11 = 110 cm$ ve $B = 16 \times 11 = 176 cm$ olur.
- $A+B$ toplamının en az değeri $110 + 176 = 286 cm$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.