Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri!

Doğrusal denklemler konusu, LGS'de karşınıza sıklıkla çıkan ve günlük hayatla iç içe olan önemli bir matematik konusudur. Bu ders notu, "8. Sınıf Doğrusal Denklemler Test 13" testindeki soruları analiz ederek, bu konudaki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsayan kapsamlı bir tekrar rehberi olarak hazırlandı. Bu notları dikkatlice okuyarak ve ipuçlarını uygulayarak doğrusal denklemler konusundaki başarınızı artırabilirsiniz.

1. Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler

Doğrusal İlişki Nedir?

• İki değişken (genellikle x ve y) arasındaki değişimin sabit bir oranla gerçekleştiği ilişkiye doğrusal ilişki denir. Yani, bir değişken belirli bir miktarda arttığında veya azaldığında, diğer değişken de her zaman aynı oranda artar veya azalır.
• Tablolardan Doğrusal İlişkiyi Anlama: Bir tabloda x değerleri düzenli artarken, y değerleri de düzenli (sabit bir farkla) artıyor veya azalıyorsa, bu bir doğrusal ilişkidir.

Doğrusal Denklem Yazma

• Doğrusal ilişkiler genellikle y = mx + n şeklinde bir denklemle ifade edilir. Burada 'm' eğimi, 'n' ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı (sabit terim) temsil eder.
• Tablodan Denklem Oluşturma:
  1. Önce, y değerlerindeki değişimin x değerlerindeki değişime oranını bularak 'm' (eğim) değerini hesapla. (m = y'deki değişim / x'teki değişim)
  2. Bulduğun 'm' değerini denklemde yerine yaz (y = mx + n).
  3. Tablodan herhangi bir (x, y) noktasını seçerek denklemde yerine koy ve 'n' değerini bul.

Noktanın Doğru Denklemini Sağlaması

• Bir nokta, bir doğrunun üzerinde bulunuyorsa, o noktanın koordinatları (x, y) doğru denklemini sağlamak zorundadır.
• 💡 İpucu: Eğer bir noktanın (a, b) bir y = mx + n doğrusu üzerinde olduğu söyleniyorsa, denklemde x yerine 'a', y yerine 'b' yazarak bilinmeyeni bulabilirsin.

2. Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

Koordinat Sistemi ve Noktalar

• Koordinat sistemi, yatay x ekseni ve dikey y ekseninden oluşur. Noktalar (x, y) şeklinde gösterilir.

Eksenleri Kesen Noktaları Bulma

• x eksenini kestiği nokta: Bu noktada y değeri her zaman 0'dır. Denklemde y yerine 0 yazarak x değerini bulursun. (x, 0)
• y eksenini kestiği nokta: Bu noktada x değeri her zaman 0'dır. Denklemde x yerine 0 yazarak y değerini bulursun. (0, y)

Doğru Grafiği Çizimi

• Bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacın vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak en pratik yoldur.
• Bulduğun noktaları koordinat sisteminde işaretle ve birleştirerek doğruyu çiz.

Özel Doğrular

• Orijinden Geçen Doğrular: Denklemleri y = mx şeklindedir (sabit terim 'n' yoktur). Bu doğrular (0, 0) noktasından geçer.
• Eksenlere Paralel Doğrular:
  • x = k: y eksenine paralel, x eksenini 'k' noktasında kesen dikey doğrulardır.
  • y = k: x eksenine paralel, y eksenini 'k' noktasında kesen yatay doğrulardır.
• ⚠️ Dikkat: Bir doğrunun y eksenine paralel olması için denklemde 'y' değişkeninin katsayısının sıfır olması gerekir (yani sadece x'li terim ve sabit terim olmalı). Benzer şekilde, x eksenine paralel olması için 'x' değişkeninin katsayısı sıfır olmalıdır.

Doğruların Birbirine Göre Durumları

• Kesişen Doğrular: Genellikle farklı eğimlere sahiptirler ve bir noktada kesişirler.
• Paralel Doğrular: Eğimleri aynıdır ve hiçbir zaman kesişmezler.
• Çakışık Doğrular: Denklemleri birbirinin katı olan doğrulardır. Her noktaları ortaktır.
• 💡 İpucu: İki doğrunun kesişmemesi demek, bu doğruların paralel olması demektir.

3. Eğim

Eğim Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

• Eğim, bir doğrunun yatay eksenle yaptığı açının dikliğini ifade eder. Genellikle 'm' harfiyle gösterilir.
• Grafikten Eğim Hesaplama: Eğim = (Dikey Uzunluk) / (Yatay Uzunluk)
• Denklemden Eğim Bulma: y = mx + n şeklindeki bir denklemde, x'in katsayısı 'm' eğimi verir. Eğer denklem bu formda değilse, 'y'yi yalnız bırakarak bu forma getirmelisin.

Eğimin Yönü (Pozitif/Negatif)

• Pozitif Eğim: Doğru sağa doğru yukarı çıkıyorsa (sağa yatık).
• Negatif Eğim: Doğru sağa doğru aşağı iniyorsa (sola yatık).
• Sıfır Eğim: x eksenine paralel doğruların eğimi 0'dır (y = k).
• Tanımsız Eğim: y eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır (x = k).

Paralel Doğruların Eğimi

• Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Gerçek Hayat Problemlerinde Eğim

• Rampa eğimi, yolun eğimi gibi durumlarda dikey yükselişin yatay mesafeye oranı olarak hesaplanır.

4. Gerçek Hayat Problemleri ve Grafik Yorumlama

Grafik Okuma ve Yorumlama

• Gerçek hayat problemlerinde verilen grafikler, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi görsel olarak sunar.
• ⚠️ Dikkat: Grafiklerdeki eksenlerin neyi temsil ettiğini (zaman, miktar, mesafe, maliyet vb.) ve birimlerini (litre, km, dakika, TL vb.) dikkatlice oku. Bu, soruyu doğru anlamanın anahtarıdır.

Değişim Oranı

• Doğrusal grafiklerdeki eğim, aynı zamanda değişim oranını da gösterir. Örneğin, harcanan benzin miktarının gidilen yola göre değişim oranı veya su deposundaki su hacminin zamana göre değişim oranı.

Grafiklerin Kesişim Noktası

• İki farklı durumu gösteren doğrusal grafiklerin kesişim noktası, her iki durumun da eşit olduğu anı veya değeri temsil eder. Örneğin, iki depodaki su miktarının eşit olduğu zaman.

Çok Adımlı Problemler ve Birim Dönüşümleri

• Bazı problemler, birden fazla grafiği yorumlamayı ve ardından birim dönüşümleri (tondan kilograma, TL'den bin TL'ye vb.) yapmayı gerektirebilir. Adımları dikkatlice takip et ve her birimin doğru kullanıldığından emin ol.

Umarım bu ders notları, doğrusal denklemler konusundaki bilgilerinizi pekiştirmenize ve sınavlarda daha başarılı olmanıza yardımcı olur. Bol pratik yapmayı unutmayın!