Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal denklemler konusundaki bilginizi pekiştirmek ve testlerde karşılaşabileceğiniz soru tiplerine hazırlanmanıza yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Koordinat sistemi, doğrusal denklemlerin grafikleri, günlük hayatta doğrusal ilişkiler kurma ve bu denklemlerle ilgili problem çözme becerilerinizi geliştirmeyi hedefler.

🗺️ Koordinat Sistemi ve Noktalar

• Koordinat sistemi, bir düzlemdeki noktaların yerini belirlemeye yarayan iki dik sayı doğrusundan oluşur. Bu doğrulara **eksenler** denir.
• Yatay eksen **x ekseni (apsis ekseni)**, dikey eksen ise **y ekseni (ordinat ekseni)** olarak adlandırılır.
• Eksenlerin kesiştiği nokta **orijin (başlangıç noktası)** olup koordinatları (0, 0)'dır.
• Bir noktanın koordinatları (x, y) şeklinde gösterilir. İlk sayı x eksenindeki, ikinci sayı ise y eksenindeki değeridir.
• Koordinat sistemi dört bölgeye ayrılır:
  • **I. Bölge:** x > 0, y > 0 (Pozitif x, Pozitif y) ➕➕
  • **II. Bölge:** x < 0, y > 0 (Negatif x, Pozitif y) ➖➕
  • **III. Bölge:** x < 0, y < 0 (Negatif x, Negatif y) ➖➖
  • **IV. Bölge:** x > 0, y < 0 (Pozitif x, Negatif y) ➕➖
• ⚠️ Dikkat: Eksenler üzerinde bulunan noktalar herhangi bir bölgeye dahil değildir. Örneğin, (3, 0) noktası x ekseni üzerindedir.

📏 Doğrusal Denklemlerin Temelleri

• İki değişkenli (genellikle x ve y) ve bu değişkenlerin en yüksek kuvvetinin 1 olduğu denklemlere **doğrusal denklem** denir.
• Genel gösterimi \(y = ax + b\) veya \(Ax + By + C = 0\) şeklindedir. Burada a, b, A, B, C birer sabit sayıdır.
• Doğrusal denklemlerin grafiği her zaman bir doğrudur.
• 💡 İpucu: Günlük hayatta sabit bir başlangıç değeri üzerine düzenli artış veya azalış gösteren durumlar genellikle doğrusal ilişkilerle ifade edilir.
  • **Örnek:** Kumbaraya her gün 3 TL atmak gibi durumlar \(y = 3x\) (başlangıçta para yoksa) veya \(y = 3x + \text{ilk para}\) şeklinde ifade edilebilir.
  • **Örnek:** Bir fidanın başlangıç boyu 40 cm olup her ay 10 cm uzaması \(y = 10x + 40\) denklemiyle gösterilir. Burada y fidanın boyu, x ise geçen ay sayısıdır.

📈 Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

• Bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Bu noktaları birleştirerek doğruyu çizebiliriz.
• **Grafik Çizme Yöntemleri:**
  • **Nokta Belirleme Yöntemi:** x'e farklı değerler vererek y değerlerini bulup (x, y) ikililerini oluşturmak ve bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirmek.
  • **Eksenleri Kesen Noktaları Bulma Yöntemi:**
    • x eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \(y = 0\) yazılır ve x değeri bulunur. (x, 0) noktası.
    • y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \(x = 0\) yazılır ve y değeri bulunur. (0, y) noktası.
• **Özel Doğrular:**
  • **Orijinden Geçen Doğrular:** \(y = ax\) şeklindeki denklemlerin grafikleri orijinden (0,0) geçer. Bu tür denklemlerde sabit terim (b veya C) yoktur, yani 0'dır.
    • ⚠️ Dikkat: Eğer bir doğru orijinden geçiyorsa, (0,0) noktasını denklemi sağlamalıdır. Yani \(Ax + By + C = 0\) denkleminde \(C = 0\) olmalıdır.
  • **Eksenlere Paralel Doğrular:**
    • \(x = a\) şeklindeki doğrular y eksenine paraleldir ve x eksenini (a, 0) noktasında keser.
    • \(y = b\) şeklindeki doğrular x eksenine paraleldir ve y eksenini (0, b) noktasında keser.
  • \(y = x\) doğrusu orijinden geçer ve I. ile III. bölgeleri iki eşit parçaya böler.
  • \(y = -x\) doğrusu orijinden geçer ve II. ile IV. bölgeleri iki eşit parçaya böler.

🔢 Denklemde Değer Bulma ve Nokta Kontrolü

• Bir doğrusal denklemde değişkenlerden birinin değeri verildiğinde, diğer değişkenin değerini bulmak için verilen değeri denklemde yerine koyup denklemi çözmeliyiz.
  • **Örnek:** \(y = 3x - 5\) denkleminde \(x = 2\) için \(y = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1\) olur. Yani (2, 1) noktası bu doğru üzerindedir.
  • **Örnek:** \(y = 2x - 5\) denkleminde \(y = 9\) için \(9 = 2x - 5 \Rightarrow 14 = 2x \Rightarrow x = 7\) olur. Yani (7, 9) noktası bu doğru üzerindedir.
• Bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını anlamak için noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarız. Eğer denklem sağlanıyorsa (eşitlik doğru çıkıyorsa), nokta doğru üzerindedir.

🤝 Doğruların Kesişim Noktaları

• İki doğrunun kesişim noktası, her iki denklemi de aynı anda sağlayan (x, y) ikilisidir.
• Bu noktayı bulmak için denklemleri ortak çözebiliriz. Genellikle yok etme veya yerine koyma yöntemleri kullanılır.
• **Örnek:** \(5x - 25 = 0\) ve \(-3y = 9\) doğrularının kesişim noktasını bulalım:
  • \(5x - 25 = 0 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\)
  • \(-3y = 9 \Rightarrow y = -3\)
  • Kesişim noktası (5, -3)'tür. Bu nokta x pozitif, y negatif olduğu için IV. bölgededir.

📐 Geometrik Uygulamalar

• Doğrusal denklemler, koordinat sisteminde geometrik şekiller oluşturmak veya bu şekillerin özelliklerini incelemek için kullanılabilir.
• **Grafik Üzerinde Alan Hesaplama:**
  • İki doğrunun ve eksenlerin sınırladığı bölge genellikle bir üçgendir.
  • Üçgenin alanını hesaplamak için taban ve yüksekliği bulmalıyız. Taban genellikle x ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, yükseklik ise y eksenindeki bir noktadan eksene olan dik uzaklıktır.
  • Üçgenin alanı: \(\frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}\)
  • 💡 İpucu: Uzunluklar her zaman pozitif olmalıdır. Eğer bir koordinat negatifse, uzunluk olarak mutlak değeri alınır.
• **Örnek:** \(x + y = 4\) ve \(2x + y = 4\) doğrularının x ekseni ile sınırladığı alanı bulalım:
  • \(x + y = 4\) doğrusu:
    • \(y = 0 \Rightarrow x = 4\) (x eksenini (4,0)'da keser)
    • \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) (y eksenini (0,4)'te keser)
  • \(2x + y = 4\) doğrusu:
    • \(y = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\) (x eksenini (2,0)'da keser)
    • \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) (y eksenini (0,4)'te keser)
  • İki doğru da y eksenini (0,4) noktasında keser. Bu nokta üçgenin tepe noktasıdır.
  • x ekseni üzerindeki taban noktaları (2,0) ve (4,0)'dır. Taban uzunluğu \(|4 - 2| = 2\) birimdir.
  • Yükseklik, tepe noktasının y eksenindeki değeri olan 4 birimdir.
  • Alan = \(\frac{2 \times 4}{2} = 4\) birimkare.

🎲 Olasılık ve Koordinat Sistemi

• Koordinat sistemi üzerinde verilen noktalardan, belirli bir bölgede bulunanların sayısını kullanarak basit olasılık hesaplamaları yapılabilir.
• **Olasılık = (İstenilen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı)**
• **Örnek:** Belirli noktalar arasından rastgele seçilen bir noktanın 3. bölgede olma olasılığı isteniyorsa:
  • Önce tüm noktaların koordinatlarını belirleyip toplam nokta sayısını buluruz.
  • Sonra 3. bölgedeki (x < 0, y < 0) noktaları sayarız.
  • Olasılık = (3. bölgedeki nokta sayısı) / (Toplam nokta sayısı)

💡 Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar

• ⚠️ Dikkat: Koordinatları yazarken her zaman önce x, sonra y değerini yazın: (x, y).
• ⚠️ Dikkat: Negatif sayılarla işlem yaparken işaret hatalarına karşı dikkatli olun. Özellikle çarpma ve bölme işlemlerinde.
• 💡 İpucu: Bir denklemin grafiğini çizerken, eksenleri kestiği noktaları bulmak genellikle en hızlı ve en doğru yöntemdir.
• 💡 İpucu: Şıklarda grafik veya denklem verildiğinde, noktaları veya özellikleri (orijinden geçme, eksenleri kesme) kontrol ederek eleme yapmak zaman kazandırır.
• 💡 İpucu: Problemleri çözerken, verilen bilgileri dikkatlice okuyun ve hangi değişkenin neyi temsil ettiğini (x ve y) doğru bir şekilde belirleyin.
• 💡 İpucu: Geometrik şekillerle ilgili sorularda, şekli koordinat sisteminde doğru bir şekilde hayal etmek veya çizmek çözüm için anahtardır. Karenin veya dikdörtgenin köşegenleri gibi özellikleri hatırlayın.