🎓 8. Sınıf Doğrusal Denklemlerin Grafiği Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal denklemlerin grafiği konusundaki temel kavramları, grafik çizme yöntemlerini, doğru denklemi yazmayı ve koordinat sisteminde alan hesaplamalarını kapsar. Sınavda başarılı olmak için bilmen gereken tüm kritik bilgileri ve ipuçlarını içerir. Hadi başlayalım! 💪

Koordinat Sistemi ve Noktalar 📍

• Koordinat sistemi, birbirine dik olan x (yatay) ve y (dikey) eksenlerinden oluşur. Bu eksenler orijin (0,0) noktasında kesişir.
• Bir nokta (x, y) şeklinde gösterilir. İlk sayı x eksenindeki, ikinci sayı y eksenindeki konumunu belirtir. Örneğin, (3, 5) noktası x ekseninde 3, y ekseninde 5 birime karşılık gelir.

Doğrusal Denklemler ve Grafikleri 📈

• Doğrusal denklemler, en yüksek dereceli terimin üssü 1 olan ve grafiği her zaman bir doğru oluşturan denklemlerdir. Genel formu $ax + by + c = 0$ veya $y = mx + n$ şeklindedir.
• Doğru Grafiği Çizimi:
  • Bir doğru çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır.
  • Genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak pratik bir yöntemdir:
    • x eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $y=0$ yazılır ve x değeri bulunur. Bu nokta $(x, 0)$ şeklindedir.
    • y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $x=0$ yazılır ve y değeri bulunur. Bu nokta $(0, y)$ şeklindedir.
  • Bulduğun bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğinde doğrunun grafiğini elde edersin.
• Orijinden Geçen Doğrular:
  • Eğer bir doğrusal denklemde sabit terim ($c$) yoksa (yani $ax + by = 0$ veya $y = mx$ şeklindeyse), bu doğru kesinlikle orijinden (0,0) geçer.
  • Bu tür doğruların grafiğini çizerken orijin dışında bir nokta daha bulmak yeterlidir. Örneğin, x yerine 1 yazıp y değerini bulabilirsin.
• Özel Doğrular:
  • $x = a$ Doğrusu: Bu doğru, x eksenini $a$ noktasında kesen ve y eksenine paralel olan dikey bir doğrudur. Örneğin, $x=4$ doğrusu, x ekseninde 4'ten geçen dikey bir çizgidir.
  • $y = b$ Doğrusu: Bu doğru, y eksenini $b$ noktasında kesen ve x eksenine paralel olan yatay bir doğrudur. Örneğin, $y=-2$ doğrusu, y ekseninde -2'den geçen yatay bir çizgidir.
• ⚠️ Dikkat: Bir doğru y eksenine paralelse, denklemi $x=a$ şeklindedir ve bu durumda y'li terim bulunmaz (yani y'nin katsayısı 0 olmalıdır). Benzer şekilde, x eksenine paralelse, denklemi $y=b$ şeklindedir ve x'li terim bulunmaz.

Doğru Denklemi Yazma ✍️

• Grafiği Verilen Doğrunun Denklemini Bulma:
  • Grafikte doğrunun geçtiği belirgin noktaları (özellikle eksenleri kestiği noktaları) tespit et.
  • Eğer doğru orijinden geçiyorsa ve bir $(x_1, y_1)$ noktasından daha geçiyorsa, eğim ($m$) = $\frac{y_1}{x_1}$ olur ve denklem $y = mx$ şeklindedir.
  • Eksenleri $(a,0)$ ve $(0,b)$ noktalarında kesen bir doğrunun denklemini bulmak için $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ formülünü kullanabilirsin. Daha sonra bu denklemi $ax + by + c = 0$ veya $y = mx + n$ formuna dönüştürebilirsin.
• İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemini Bulma:
  • Verilen iki noktayı ($x_1, y_1$) ve ($x_2, y_2$) kullanarak eğimi bul: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
  • Eğimi bulduktan sonra, denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülünü kullanarak yaz. (Burada $(x_1, y_1)$ noktalarından herhangi biri olabilir.)
  • Eğer noktalardan biri orijin (0,0) ise, denklem $y = mx$ şeklinde olacaktır.

Bir Noktanın Doğru Üzerinde Olması 🤔

• Bir nokta, bir doğrunun üzerinde ise, o noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
• Yani, noktanın x değerini denklemdeki x yerine, y değerini denklemdeki y yerine yazdığında eşitlik doğru olmalıdır.
• 💡 İpucu: Bu özellik, bir noktanın doğruya ait olup olmadığını kontrol etmek veya eksik bir koordinat değerini bulmak için kullanılır. Örneğin, $K(m, 2)$ noktası $x=3y$ doğrusu üzerindeyse, $m = 3 \times 2$ olmalı, yani $m=6$ bulunur.

Koordinat Sisteminde Alan Hesaplamaları 📐

• Doğru ve Eksenlerin Sınırladığı Alan:
  • Bir doğru ile koordinat eksenlerinin sınırladığı bölge genellikle bir dik üçgen oluşturur.
  • Bu üçgenin dik kenarları, doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarıdır (mutlak değerleri alınır).
  • Üçgenin alanı = $\frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}$ formülüyle hesaplanır.
  • Örneğin, $2y - 3x = 6$ doğrusu için $x=0$ iken $2y=6 \Rightarrow y=3$ (y eksenini 3'te keser). $y=0$ iken $-3x=6 \Rightarrow x=-2$ (x eksenini -2'de keser). Bu durumda dik kenarlar 3 birim ve 2 birim uzunluğundadır. Alan = $\frac{3 \times 2}{2} = 3$ birimkare olur.
• Birden Fazla Doğru veya Noktalarla Sınırlanan Alan:
  • Verilen noktalar veya doğrular bir üçgen, dikdörtgen veya başka bir geometrik şekil oluşturabilir.
  • Şeklin köşelerinin koordinatlarını belirle.
  • Eğer şekil karmaşıksa, onu daha basit geometrik şekillere (dik üçgenler, dikdörtgenler) ayırarak alanlarını bulup toplayabilir veya şekli içine alan büyük bir dikdörtgenin alanından fazlalık üçgenlerin alanlarını çıkararak hesaplayabilirsin.
  • 💡 İpucu: Alan hesaplarken uzunluklar her zaman pozitif olmalıdır. Koordinat değerlerinin mutlak değerlerini kullanmayı unutma! Örneğin, x eksenini -3'te kesen bir doğrunun orijine uzaklığı 3 birimdir.
  • Örnek: $x=4, x=-1, y=2, y=-2$ doğrularının sınırladığı bölge bir dikdörtgen oluşturur. x değerleri arasındaki fark $4 - (-1) = 5$ birim (genişlik), y değerleri arasındaki fark $2 - (-2) = 4$ birim (yükseklik) olur. Alan = $5 \times 4 = 20$ birimkare.

Bu notları dikkatlice tekrar et ve bol bol soru çözerek bilgilerini pekiştir. Başarılar dilerim! 🚀