🎓 8. Sınıf Doğrusal Denklemlerin Grafiği Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal denklemlerin grafiği konusundaki temel bilgileri, grafik çizim yöntemlerini, özel doğru denklemlerini ve bir noktanın doğru üzerindeki konumunu kapsar. Sınavda karşılaşabileceğin farklı soru tiplerine yönelik kapsamlı bir tekrar imkanı sunar.

Koordinat Sistemi ve Temel Kavramlar 🌍

• x-ekseni (yatay) ve y-ekseni (dikey) birbirine dik iki sayı doğrusudur.
• Orijin (0,0) noktası, eksenlerin kesiştiği yerdir.
• Koordinat sistemi düzlemi dört bölgeye ayırır: I. Bölge (+,+), II. Bölge (-,+), III. Bölge (-,-), IV. Bölge (+,-).
• Bir noktanın koordinatları (x, y) şeklinde gösterilir. İlk sayı x koordinatını, ikinci sayı y koordinatını belirtir.

Doğrusal Denklemler ve Grafikleri 📈

Genellikle ax + by + c = 0 veya y = mx + n şeklinde ifade edilen denklemlerdir. Burada x ve y değişken, a, b, c, m, n ise sabit sayılardır. Bu denklemlerin grafiği her zaman bir doğrudur.

Grafik Çizim Yöntemleri

Bir doğru grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak işimizi kolaylaştırır.

• Eksenleri Kesen Doğrular: (ax + by = c veya y = mx + n formunda, c ≠ 0 ve m ≠ 0 ise)

  Doğrunun x-eksenini kestiği noktada y değeri her zaman 0'dır. Denklemde y = 0 yazarak x değerini buluruz. Bulduğumuz nokta (x, 0) şeklindedir.

  Doğrunun y-eksenini kestiği noktada x değeri her zaman 0'dır. Denklemde x = 0 yazarak y değerini buluruz. Bulduğumuz nokta (0, y) şeklindedir.

  Bu iki noktayı bulduktan sonra koordinat sisteminde işaretleyip birleştirerek doğrunun grafiğini çizebiliriz.

  Örnek: 2x - y = 2 denkleminin grafiğini çizelim.

  x = 0 için: 2(0) - y = 2 ⇒ -y = 2 ⇒ y = -2. Nokta: (0, -2)

  y = 0 için: 2x - 0 = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1. Nokta: (1, 0)

  Bu iki noktayı birleştirerek grafiği çizeriz.

• Orijinden Geçen Doğrular: (y = mx veya ax + by = 0 formunda)

  Bu tür denklemlerin sabit terimi (c) yoktur. Bu doğrular her zaman orijin (0,0) noktasından geçer. Grafiği çizmek için orijin dışında bir nokta daha bulmamız yeterlidir.

  Örnek: y = -2x denkleminin grafiğini çizelim.

  Orijinden geçer: (0, 0)

  x = 1 için: y = -2(1) ⇒ y = -2. Nokta: (1, -2)

  (0,0) ve (1,-2) noktalarını birleştirerek grafiği çizeriz.

  ⚠️ Dikkat: Orijinden geçen doğrular x ve y eksenlerini sadece orijinde keser. Bu yüzden x=0 ve y=0 denklemi her zaman (0,0) sonucunu verir. Farklı bir nokta bulmak için x'e 0'dan farklı bir değer vermelisin.

• Eksenlere Paralel Doğrular:

  x = a şeklindeki doğrular: Bu doğrular y-eksenine paraleldir ve x-eksenini (a, 0) noktasında keser. Denklemde y değişkeni bulunmaz.

  Örnek: x = 4 doğrusu, y-eksenine paralel, x-eksenini (4,0) noktasında kesen dikey bir doğrudur.

  💡 İpucu: Bir denklemde sadece x değişkeni varsa (veya y'nin katsayısı 0 ise), doğru y-eksenine paraleldir.

  y = b şeklindeki doğrular: Bu doğrular x-eksenine paraleldir ve y-eksenini (0, b) noktasında keser. Denklemde x değişkeni bulunmaz.

  Örnek: y = -3 doğrusu, x-eksenine paralel, y-eksenini (0,-3) noktasında kesen yatay bir doğrudur.

  💡 İpucu: Bir denklemde sadece y değişkeni varsa (veya x'in katsayısı 0 ise), doğru x-eksenine paraleldir.

  ⚠️ Dikkat: x = 0 doğrusu y-ekseninin kendisi, y = 0 doğrusu ise x-ekseninin kendisidir.

Bir Noktanın Doğru Üzerinde Olması 🤔

Bir noktanın bir doğrunun üzerinde olması demek, o noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlaması demektir. Yani, noktanın x ve y koordinatlarını denklemde yerine yazdığımızda eşitlik doğru olmalıdır.

Örnek: 2x - 3y + 5 = 0 doğrusu (a, 3) noktasından geçiyorsa, a kaçtır?

• Noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazalım: x = a ve y = 3.
• 2(a) - 3(3) + 5 = 0
• 2a - 9 + 5 = 0
• 2a - 4 = 0
• 2a = 4
• a = 2

💡 İpucu: Bu tür sorularda bilinmeyen bir değişkeni bulmak için verilen noktanın koordinatlarını dikkatlice yerine yaz ve denklemi çöz.

Doğrular ve Geometrik Şekiller 📐

Koordinat sisteminde eksenlere paralel doğrular genellikle dikdörtgen veya kare gibi geometrik şekiller oluşturur. Bu şekillerin alanını veya çevresini bulmak için doğru denklemlerini kullanarak kenar uzunluklarını belirlemen gerekir.

Örnek: x = -2, x = 5, y = 3 ve y = b doğruları arasında kalan bölgenin alanı 56 birim kare ise y = b doğrusunun denklemi ne olabilir?

• x doğruları arasındaki uzaklık: |5 - (-2)| = |7| = 7 birim. (Bu dikdörtgenin bir kenarı)
• y doğruları arasındaki uzaklık: |3 - b| birim. (Bu dikdörtgenin diğer kenarı)
• Alan = Kenar 1 × Kenar 2 ⇒ 7 × |3 - b| = 56
• |3 - b| = 8
• Bu durumda iki ihtimal vardır:

  3 - b = 8 ⇒ b = 3 - 8 ⇒ b = -5 (y = -5 doğrusu)

  3 - b = -8 ⇒ b = 3 + 8 ⇒ b = 11 (y = 11 doğrusu)

Sorularda genellikle seçeneklerden birini bulman istenir. Bu örnekte y = -5 veya 3y + 15 = 0 (yani y = -5) seçeneği doğru olabilir.

⚠️ Dikkat: Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir, bu yüzden mutlak değer kullanmayı unutma!