🎓 8. Sınıf Doğrusal İlişkiler Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal ilişkiler konusunun temel kavramlarını, denklem kurma yöntemlerini, grafik yorumlamayı ve problem çözme becerilerini kapsar. Bağımlı-bağımsız değişkenler, örüntülerden denklem çıkarma, tablolardan ve grafiklerden ilişki kurma gibi önemli konuları tekrar etmen ve sınava hazırlanırken başvurman için hazırlandı.

Doğrusal İlişki Nedir? 🤔

• İki değişken arasındaki ilişkinin bir doğru grafiği ile gösterilebildiği durumlara doğrusal ilişki denir.
• Bu ilişkiler genellikle $y = ax + b$ şeklinde bir denklemle ifade edilir. Burada $a$ değişim oranını (eğim), $b$ ise başlangıç değerini (sabit terim) gösterir.
• Örnek: Bir taksinin açılış ücreti 15 TL ve her kilometre için 5 TL alıyorsa, ödenecek toplam ücret ($y$) gidilen yola ($x$) bağlı olarak $y = 5x + 15$ şeklinde bir doğrusal ilişkidir.

Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler 🔗

• Bağımsız Değişken (x): Değeri başka bir değişkene bağlı olmayan, kendi başına değişebilen değişkendir. Genellikle zaman, adım sayısı, miktar gibi ölçülebilir şeylerdir.
• Bağımlı Değişken (y): Değeri bağımsız değişkene bağlı olarak değişen değişkendir. Bağımsız değişkenin değişimi, bağımlı değişkenin değerini etkiler.
• Örnek: Günde 2 litre su içen Selin için, geçen gün sayısı bağımsız değişken ($x$), içtiği toplam su miktarı ise bağımlı değişkendir ($y$). Çünkü içilen su miktarı gün sayısına bağlıdır.
• ⚠️ Dikkat: Genellikle yatay eksen bağımsız değişkeni ($x$), dikey eksen bağımlı değişkeni ($y$) gösterir. Hangi değişkenin diğerini etkilediğini düşünerek kolayca ayırt edebilirsin.

Doğrusal İlişki Denklemi Kurma ✍️

• Sözel İfadelerden Denklem Kurma: Verilen durumu dikkatlice oku. Başlangıç değerini (sabit terim) ve her adımda/birimde değişen miktarı (katsayı) belirle.
  • Örnek: "1 kg şeker elde etmek için ortalama 11 kg şeker pancarına ihtiyaç vardır." Burada elde edilen şeker miktarı ($y$), kullanılan şeker pancarı miktarının ($x$) 1/11'i kadardır. Yani denklem $y = \frac{x}{11}$ olur.
• Şekil ve Sayı Örüntülerinden Denklem Kurma:
  • Örüntüdeki her adımda artış miktarını (ortak farkı) bul. Bu, $x$'in katsayısı ($a$) olacaktır.
  • Bulduğun $a$ değeriyle $y = ax + b$ denklemini oluştur. İlk adımdaki değeri kontrol et. $x=1$ yazdığında $y$'nin örüntünün ilk adımıyla eşleşmesi gerekir. Eğer eşleşmiyorsa, $b$ değerini ayarlayarak denklemi doğru hale getir.
  • Örnek: 1. adımda 2 yıldız, 2. adımda 4 yıldız, 3. adımda 6 yıldız... Her adımda 2 yıldız artıyor. Demek ki $a = 2$. Denklem $y = 2x + b$. 1. adım için $y = 2$ olmalı. $2 = 2(1) + b \implies b = 0$. Denklem $y = 2x$.
  • Örnek 2: 1. adımda 3 pul, 2. adımda 7 pul, 3. adımda 11 pul... Her adımda 4 pul artıyor. Demek ki $a = 4$. Denklem $y = 4x + b$. 1. adım için $y = 3$ olmalı. $3 = 4(1) + b \implies b = -1$. Denklem $y = 4x - 1$.
• Tablolardan Denklem Kurma:
  • $x$ değerleri düzenli artarken $y$ değerlerinin nasıl değiştiğini incele. $y$'deki değişim miktarı, $x$'in katsayısı ($a$) olacaktır.
  • Bulduğun $a$ değeriyle $y = ax + b$ denklemini oluştur. Tablodaki herhangi bir $(x, y)$ ikilisini denklemde yerine koyarak $b$ sabit terimini bul.
  • Örnek:
    • x: 1, y: 7
    • x: 2, y: 16
    • x: 3, y: 25
    $x$ 1 artarken $y$ 9 artmış. Demek ki $a = 9$. Denklem $y = 9x + b$. İlk ikiliyi kullanalım: $7 = 9(1) + b \implies 7 = 9 + b \implies b = -2$. Denklem: $y = 9x - 2$.

Doğrusal İlişki Grafikleri 📈📉

• Grafik Okuma ve Yorumlama:
  • Yatay eksen ($x$-ekseni) bağımsız değişkeni, dikey eksen ($y$-ekseni) bağımlı değişkeni gösterir.
  • Grafik üzerindeki her nokta bir $(x, y)$ sıralı ikilisini temsil eder.
  • Doğru yukarı doğru gidiyorsa (sağa doğru), bu artan bir ilişkidir. $x$ arttıkça $y$ de artar.
  • Doğru aşağı doğru gidiyorsa (sağa doğru), bu azalan bir ilişkidir. $x$ arttıkça $y$ azalır.
• Grafikten Denklem Çıkarma:
  • Grafik üzerindeki iki noktayı belirle. Örneğin $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$.
  • Değişim oranını (eğimi) bul: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
  • Bulduğun $a$ değeriyle $y = ax + b$ denklemini oluştur. Noktalardan birini denklemde yerine koyarak $b$ sabit terimini bul.
  • Örnek: Grafik $(0, 0)$ noktasından geçiyorsa, $b = 0$ demektir ve ilişki $y = ax$ şeklindedir (orantısal ilişki).
• Grafik Üzerinde Değer Bulma: Verilen $x$ değerine karşılık gelen $y$ değerini veya verilen $y$ değerine karşılık gelen $x$ değerini grafikten okuyarak veya denklemi kullanarak bulabilirsin.
• 💡 İpucu: Grafikteki noktalar arasındaki orantıyı kullanarak da bilinmeyen değerleri bulabilirsin. Örneğin, $x$ 2 katına çıkıyorsa, $y$ de 2 katına çıkar (eğer $y = ax$ şeklindeyse). Eğer bir başlangıç değeri varsa, değişim oranını kullanarak ilerleyebilirsin.

Sıralı İkililer ve Doğrusal İlişki ✔️❌

• Bir $(x, y)$ sıralı ikilisinin bir doğrusal denklemi sağlayıp sağlamadığını anlamak için, $x$ ve $y$ değerlerini denklemde yerine koy. Eşitlik sağlanıyorsa, ikili denklemi sağlar.
• Örnek: $y = x - 5$ denklemi için $(1, -4)$ ikilisi: $-4 = 1 - 5 \implies -4 = -4$. Eşitlik sağlandı, yani bu ikili denklemi sağlar.
• Örnek: $(0, 5)$ ikilisi: $5 = 0 - 5 \implies 5 = -5$. Eşitlik sağlanmadı, bu ikili denklemi sağlamaz.

Günlük Hayat Problemleri ve Doğrusal İlişkiler 🌍

• Birikim, harcama, mesafe-zaman, üretim miktarı gibi birçok günlük durum doğrusal ilişkilerle modellenebilir.
• Problemi okurken başlangıç değerini ve birim başına değişen miktarı iyi anlamak denklemi kurmada çok önemlidir.
• Birim Dönüşümleri: Kuruş-TL gibi birim dönüşümlerine dikkat etmeyi unutma! (1 TL = 100 kuruş). Denklemi kurarken veya sonucu bulurken birimlerin tutarlı olduğundan emin ol.