Çatı ustası 75 m² alanı üç farklı malzeme kullanarak kaplamıştır. Malzemelerin birim alanları ve toplam adet sayıları verilmiştir.

• Siyah malzeme (S): Her biri 2 m²
• Yeşil malzeme (Y): Her biri 5 m²
• Kırmızı malzeme (K): Her biri 10 m²

Toplam 15 adet malzeme kullanılmıştır.

Denklemleri oluşturalım:

1. Toplam Alan Denklemi:

   Siyah malzemeden s adet, Yeşil malzemeden y adet ve Kırmızı malzemeden k adet kullanıldığını varsayarsak, toplam alan:

   $2s + 5y + 10k = 75$ (Denklem 1)

2. Toplam Adet Denklemi:

   Kullanılan toplam malzeme adedi 15'tir:

   $s + y + k = 15$ (Denklem 2)

Bizden yeşil malzemeden kaç tane kullanıldığı, yani y değeri istenmektedir.

Denklem 2'den s'yi çekip Denklem 1'de yerine yazalım:

$s = 15 - y - k$

Denklem 1'de yerine yazarsak:

$2(15 - y - k) + 5y + 10k = 75$

$30 - 2y - 2k + 5y + 10k = 75$

$30 + 3y + 8k = 75$

$3y + 8k = 75 - 30$

$3y + 8k = 45$ (Denklem 3)

Şimdi y ve k'nin pozitif tam sayı değerlerini bulmamız gerekiyor. k için değerler deneyerek y'yi bulalım:

• Eğer $k = 0$ ise:

  $3y + 8(0) = 45 \Rightarrow 3y = 45 \Rightarrow y = 15$

  Bu durumda $s = 15 - 15 - 0 = 0$. Çözüm $(s, y, k) = (0, 15, 0)$. Toplam alan $2(0) + 5(15) + 10(0) = 75$. Bu geçerli bir çözümdür, ancak y=15 seçeneklerde yoktur.

• Eğer $k = 1$ ise:

  $3y + 8(1) = 45 \Rightarrow 3y = 37 \Rightarrow y = 37/3$ (Tam sayı değil, geçersiz)

• Eğer $k = 2$ ise:

  $3y + 8(2) = 45 \Rightarrow 3y = 29 \Rightarrow y = 29/3$ (Tam sayı değil, geçersiz)

• Eğer $k = 3$ ise:

  $3y + 8(3) = 45 \Rightarrow 3y + 24 = 45 \Rightarrow 3y = 21 \Rightarrow y = 7$

  Bu durumda $s = 15 - y - k = 15 - 7 - 3 = 5$. Çözüm $(s, y, k) = (5, 7, 3)$. Toplam alan $2(5) + 5(7) + 10(3) = 10 + 35 + 30 = 75$. Bu geçerli bir çözümdür ve y=7 seçeneklerde bulunmaktadır.

• Eğer $k = 4$ ise:

  $3y + 8(4) = 45 \Rightarrow 3y = 13 \Rightarrow y = 13/3$ (Tam sayı değil, geçersiz)

• Eğer $k = 5$ ise:

  $3y + 8(5) = 45 \Rightarrow 3y = 5 \Rightarrow y = 5/3$ (Tam sayı değil, geçersiz)

• Eğer $k \ge 6$ olursa, $8k$ değeri 45'ten büyük veya eşit olacağı için $3y$ negatif olur, bu da y'nin negatif olması anlamına gelir ki bu mümkün değildir.

Buna göre, yeşil malzemeden 7 adet kullanılmıştır.

Cevap B seçeneğidir.