Verilen şekle göre boyalı bölgenin alanını bulmak için büyük karenin alanından küçük dikdörtgenin alanını çıkarmamız gerekir.

• Büyük Karenin Alanı:

  Karenin bir kenar uzunluğu \(8x\)'tir.

  Alan = \((kenar)^2 = (8x)^2 = 64x^2\)

• Küçük Dikdörtgenin Alanı:

  Dikdörtgenin uzun kenarı \(8y\), kısa kenarı \(2y\)'dir.

  Alan = \(uzun kenar \times kısa kenar = 8y \times 2y = 16y^2\)

• Boyalı Bölgenin Alanı:

  Boyalı Alan = Büyük Karenin Alanı - Küçük Dikdörtgenin Alanı

  Boyalı Alan = \(64x^2 - 16y^2\)

  Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. Öncelikle ortak çarpan olan 16'yı dışarı alalım:

  \(16(4x^2 - y^2)\)

  Parantez içindeki ifade bir iki kare farkıdır: \((2x)^2 - (y)^2\). İki kare farkı özdeşliği \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) kullanılarak:

  \(4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)\)

  Böylece boyalı bölgenin alanı:

  \(16(2x - y)(2x + y)\)

Bu ifade seçeneklerdeki D seçeneği ile özdeştir.

Cevap D seçeneğidir.