Verilen ifadeyi adım adım çözelim:

• İfadeyi yeniden yazalım: $$ \sqrt{99 \cdot 101 + 1} $$
• Çarpılan sayıları, ortalarındaki bir sayı cinsinden ifade edebiliriz. Bu durumda 100 sayısını kullanmak uygun olacaktır: $$ 99 = 100 - 1 $$ $$ 101 = 100 + 1 $$
• Bu değerleri ifadeye yerine koyalım: $$ \sqrt{(100 - 1)(100 + 1) + 1} $$
• İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Burada $a = 100$ ve $b = 1$'dir. $$ (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 100^2 - 1 $$
• Bu sonucu köklü ifadeye geri yazalım: $$ \sqrt{100^2 - 1 + 1} $$
• İfadeyi sadeleştirelim: $$ \sqrt{100^2} $$
• Karekök ve kare birbirini götürür (sayı pozitif olduğu için mutlak değer almaya gerek yoktur): $$ 100 $$

Buna göre, ifadenin değeri 100'dür.

Cevap C seçeneğidir.