Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  Karenin alanı \((25x^2 - 10x + 1) \text{ cm}^2\) olarak verilmiştir. Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir:

  \( (5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1 \)

  Dolayısıyla, karenin bir kenar uzunluğu \(s = (5x - 1) \text{ cm}\) olur.

• Dikdörtgenin Boyutlarını Bulma:

  Dikdörtgenin alanı \((50x^2 - 2) \text{ cm}^2\) olarak verilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi, dikdörtgenin bir kenarı karenin kenarı ile çakışmaktadır. Bu durumda dikdörtgenin yüksekliği karenin kenar uzunluğuna eşittir, yani \(h = (5x - 1) \text{ cm}\).

  Dikdörtgenin alan formülü \(A = h \times w\) olduğundan:

  \( (5x - 1) \times w = 50x^2 - 2 \)

  Sağ tarafı çarpanlarına ayıralım:

  \( 50x^2 - 2 = 2(25x^2 - 1) \)

  Bu ifade bir iki kare farkıdır: \(25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1)\).

  Yani, \( 50x^2 - 2 = 2(5x - 1)(5x + 1) \).

  Şimdi denklemi tekrar yazalım:

  \( (5x - 1) \times w = 2(5x - 1)(5x + 1) \)

  \( (5x - 1) \) terimlerini sadeleştirirsek ( \(5x - 1 \neq 0\) varsayımıyla):

  \( w = 2(5x + 1) = 10x + 2 \text{ cm}\).

  Dikdörtgenin boyutları \( (5x - 1) \text{ cm} \) ve \( (10x + 2) \text{ cm} \) olarak bulunur.

• Oluşan Şeklin Çevre Uzunluğunu Bulma:

  Oluşan şekil, bir kare ve bir dikdörtgenin birleştirilmesiyle oluşan büyük bir dikdörtgendir.

  Bu büyük dikdörtgenin yüksekliği, karenin yüksekliğine eşittir: \(H = (5x - 1) \text{ cm}\).

  Bu büyük dikdörtgenin toplam genişliği, karenin kenar uzunluğu ile dikdörtgenin genişliğinin toplamıdır:

  \(W_{toplam} = (5x - 1) + (10x + 2) = 15x + 1 \text{ cm}\).

  Oluşan şeklin çevre uzunluğu, büyük dikdörtgenin çevresi formülü ile bulunur: \(Ç = 2 \times (H + W_{toplam})\).

  \(Ç = 2 \times ((5x - 1) + (15x + 1))\)

  \(Ç = 2 \times (5x - 1 + 15x + 1)\)

  \(Ç = 2 \times (20x)\)

  \(Ç = 40x \text{ cm}\).

Cevap B seçeneğidir.