Verilen problemi adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Mavi kartonun kenar uzunluklarını belirleyelim.
• Mavi kartonun alanı `$(2x^2 + 4x + 2) \text{ cm}^2$` olarak verilmiştir.
• Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: `$2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2$`.
• Soruda mavi kartonun uzun kenarının kısa kenarının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
• Kısa kenara `a` dersek, uzun kenar `2a` olur.
• Mavi kartonun alanı `$a \times 2a = 2a^2$` olur.
• `$2a^2 = 2(x+1)^2 \implies a^2 = (x+1)^2 \implies a = x+1$`.
• Buna göre, mavi kartonun kısa kenarı `$(x+1) \text{ cm}$` ve uzun kenarı `$2(x+1) = (2x+2) \text{ cm}$`'dir.
• Adım 2: Yeşil kartonun kenar uzunluklarını belirleyelim.
• Şekilde görüldüğü gibi, yeşil kartonun dikey kenarı, mavi kartonun kısa kenarından 1 cm (üstte) + 1 cm (altta) daha uzundur.
• Yeşil kartonun kısa kenarı = `$(x+1) + 1 + 1 = (x+3) \text{ cm}$`.
• Yeşil kartonun yatay kenarı, mavi kartonun uzun kenarından `x` cm (solda) + `x` cm (sağda) daha uzundur.
• Yeşil kartonun uzun kenarı = `$(2x+2) + x + x = (4x+2) \text{ cm}$`.
• Adım 3: Yeşil kartonun toplam alanını hesaplayalım.
• Yeşil kartonun alanı = (Kısa kenar) `$\times$` (Uzun kenar)
• Yeşil kartonun alanı = `$(x+3)(4x+2)$`
• `$(x+3)(4x+2) = x(4x+2) + 3(4x+2)$`
• `$= 4x^2 + 2x + 12x + 6$`
• `$= (4x^2 + 14x + 6) \text{ cm}^2$`.
• Adım 4: Şekildeki yeşil bölgenin alanını bulalım.
• Yeşil bölgenin alanı, yeşil kartonun toplam alanından mavi kartonun alanının çıkarılmasıyla bulunur.
• Yeşil bölgenin alanı = (Yeşil kartonun alanı) - (Mavi kartonun alanı)
• Yeşil bölgenin alanı = `$(4x^2 + 14x + 6) - (2x^2 + 4x + 2)$`
• `$= 4x^2 + 14x + 6 - 2x^2 - 4x - 2$`
• `$= (4x^2 - 2x^2) + (14x - 4x) + (6 - 2)$`
• `$= (2x^2 + 10x + 4) \text{ cm}^2$`.

Cevap A seçeneğidir.