Dairenin alan formülü $A = \pi r^2$ şeklindedir. Soruda dairenin alanı $(12x^2 - 36x + 27)$ cm$^2$ ve $\pi = 3$ olarak verilmiştir. AB ise dairenin çapıdır, yani $AB = 2r$ olur.

• 1. Alan formülünü kullanarak yarıçapın karesini bulma:

Verilen değerleri alan formülünde yerine yazalım:

$$A = \pi r^2$$

$$12x^2 - 36x + 27 = 3 \cdot r^2$$

Her iki tarafı 3'e bölelim:

$$r^2 = \frac{12x^2 - 36x + 27}{3}$$

$$r^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

• 2. Yarıçapı (r) bulma:

Sağ taraftaki ifade bir tam kare açılımıdır. $(ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2$ formülünü hatırlayalım.

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2 = (2x - 3)^2$$

Yani,

$$r^2 = (2x - 3)^2$$

Her iki tarafın karekökünü alarak r'yi buluruz. Uzunluk pozitif olacağından $2x-3$ ifadesinin pozitif olduğunu varsayabiliriz:

$$r = 2x - 3$$

• 3. AB uzunluğunu bulma:

AB uzunluğu dairenin çapı olduğundan, yarıçapın iki katıdır ($AB = 2r$).

$$AB = 2 \cdot (2x - 3)$$

$$AB = 4x - 6$$

Cevap C seçeneğidir.