Verilen ifadeyi adım adım çözelim:

• Bize verilen denklem: \(4m - n = 5\sqrt{2}\)
• Değerini bulmamız istenen cebirsel ifade: \(16m^2 - 8mn + n^2\)
• İstenen cebirsel ifadenin bir tam kare açılımı olduğunu fark edelim. Genel olarak \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) şeklindedir.
• Burada \(a = 4m\) ve \(b = n\) olarak düşünürsek, \((4m - n)^2\) ifadesini açtığımızda:
  \((4m - n)^2 = (4m)^2 - 2(4m)(n) + n^2\)
  \((4m - n)^2 = 16m^2 - 8mn + n^2\)
• Görüldüğü gibi, değeri istenen ifade tam olarak \((4m - n)^2\) şeklindedir.
• Şimdi, verilen \(4m - n = 5\sqrt{2}\) değerini bu ifadede yerine koyalım:
  \((4m - n)^2 = (5\sqrt{2})^2\)
• Hesaplamayı yapalım:
  \((5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2\)
  \((5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2\)
  \((5\sqrt{2})^2 = 50\)

Buna göre, \(16m^2 - 8mn + n^2\) cebirsel ifadesinin değeri 50'dir.

Cevap B seçeneğidir.