Karesel bir bölgenin alanı verildiğinde, çevresini bulmak için öncelikle bir kenar uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Ardından, bu kenar uzunluğunu 4 ile çarparak çevreyi bulabiliriz.

• Adım 1: Alan ifadesini çarpanlarına ayırma

Karesel bölgenin alanı $$(25x^2 + 10x + 1) \text{ cm}^2$$ olarak verilmiştir. Bu ifade, bir tam kare özdeşliğidir. $$ (ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 $$ formülünü hatırlayalım.

Verilen ifadeyi bu formülle karşılaştırırsak:

• $$25x^2 = (5x)^2$$ olduğu için $$a=5$$'tir.
• $$1 = (1)^2$$ olduğu için $$b=1$$'dir.
• Ortadaki terim $$2abx = 2 \cdot (5x) \cdot (1) = 10x$$ olup, verilen ifadeyle eşleşmektedir.

Bu durumda, alan ifadesi $$(5x + 1)^2$$ şeklinde yazılabilir.

• Adım 2: Bir kenar uzunluğunu bulma

Karenin alanı bir kenarının karesine eşit olduğundan, bir kenar uzunluğu alan ifadesinin karekökü olacaktır:

Kenar uzunluğu $$ = \sqrt{(5x + 1)^2} = (5x + 1) \text{ cm} $$

• Adım 3: Çevre uzunluğunu hesaplama

Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır:

Çevre $$ = 4 \times (\text{kenar uzunluğu}) $$

Çevre $$ = 4 \times (5x + 1) $$

Çevre $$ = 20x + 4 \text{ cm} $$

Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.