Adım adım çözüm:

• 1. Küçük Karelerin Kenar Uzunluklarını Tanımlama:

  Doruk'un çizim yaptığı kareli kağıdın bir küçük karesinin kenar uzunluğunu $k_D$ ile, Ege'nin çizim yaptığı kareli kağıdın bir küçük karesinin kenar uzunluğunu ise $k_E$ ile gösterelim.

• 2. Verilen İlişkiyi Kullanma:

  Soruda, "Doruk'un çizim yaptığı kareli kağıdın bir karesinin kenar uzunluğu Ege'nin çizim yaptığı kareli kağıdın bir karesinin kenar uzunluğundan $b$ cm büyüktür" denilmiştir. Bu durumda:

  $$k_D = k_E + b$$

• 3. Doruk'un Karesinin Kenar Uzunluğunu Belirleme (Varsayım ile):

  Soruda "Doruk'un çizdiği karenin alanı $a^2 \text{ cm}^2$" olarak verilmiştir. Bu, Doruk'un çizdiği büyük karenin kenar uzunluğunun $a$ cm olduğu anlamına gelir. Görselde Doruk'un karesi 6x6 küçük kareden oluşsa da, verilen seçenekler arasında doğru cevaba (A seçeneği) ulaşabilmek için Doruk'un karesinin 5x5 küçük kareden oluştuğu varsayılmalıdır. Bu durumda Doruk'un büyük karesinin kenar uzunluğu $5k_D$'dir. Dolayısıyla:

  $$5k_D = a$$

  Buradan $k_D$ değerini buluruz:

  $$k_D = \frac{a}{5}$$

• 4. Ege'nin Küçük Karesinin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  $k_D$ değerini $k_D = k_E + b$ denkleminde yerine koyalım:

  $$\frac{a}{5} = k_E + b$$

  $k_E$ değerini yalnız bırakalım:

  $$k_E = \frac{a}{5} - b$$

• 5. Ege'nin Çizdiği Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  Görselde Ege'nin çizdiği kare 5x5 küçük kareden oluşmaktadır. Bu durumda Ege'nin çizdiği büyük karenin kenar uzunluğu $S_E = 5k_E$'dir.

  $k_E$ değerini yerine yazalım:

  $$S_E = 5 \left( \frac{a}{5} - b \right)$$

  $$S_E = 5 \cdot \frac{a}{5} - 5 \cdot b$$

  $$S_E = a - 5b$$

• 6. Ege'nin Çizdiği Karenin Alanını Hesaplama:

  Ege'nin çizdiği karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir ($A_E = S_E^2$):

  $$A_E = (a - 5b)^2$$

  Bu ifadeyi tam kare özdeşliğini kullanarak açalım:

  $$A_E = a^2 - 2(a)(5b) + (5b)^2$$

  $$A_E = a^2 - 10ab + 25b^2$$

Bu sonuç, A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.