Verilen şekil, kısa kenar uzunluğu \(a\) cm olan 7 adet dikdörtgenin birleştirilmesiyle oluşturulmuştur.
- En üstteki kağıdın uzun kenarı \( (2a - 5) \) cm'dir.
- Her bir kağıdın uzun kenarı, bir üstündeki kağıdın uzun kenarından 3 cm daha uzundur.
Bu bilgilere göre, her bir dikdörtgenin uzun kenarını ve alanını bulalım:
- 1. Dikdörtgen (En üstteki):
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_1 = (2a - 5)\) cm
- Alan: \(A_1 = a \cdot (2a - 5) = 2a^2 - 5a\)
- 2. Dikdörtgen:
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_2 = (2a - 5) + 3 = (2a - 2)\) cm
- Alan: \(A_2 = a \cdot (2a - 2) = 2a^2 - 2a\)
- 3. Dikdörtgen:
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_3 = (2a - 2) + 3 = (2a + 1)\) cm
- Alan: \(A_3 = a \cdot (2a + 1) = 2a^2 + a\)
- 4. Dikdörtgen:
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_4 = (2a + 1) + 3 = (2a + 4)\) cm
- Alan: \(A_4 = a \cdot (2a + 4) = 2a^2 + 4a\)
- 5. Dikdörtgen:
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_5 = (2a + 4) + 3 = (2a + 7)\) cm
- Alan: \(A_5 = a \cdot (2a + 7) = 2a^2 + 7a\)
- 6. Dikdörtgen:
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_6 = (2a + 7) + 3 = (2a + 10)\) cm
- Alan: \(A_6 = a \cdot (2a + 10) = 2a^2 + 10a\)
- 7. Dikdörtgen (En alttaki):
- Kısa kenar: \(a\) cm
- Uzun kenar: \(L_7 = (2a + 10) + 3 = (2a + 13)\) cm
- Alan: \(A_7 = a \cdot (2a + 13) = 2a^2 + 13a\)
Oluşan şeklin bir yüzünün toplam alanı, bu 7 dikdörtgenin alanlarının toplamına eşittir:
\( \text{Toplam Alan} = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 \)
\( \text{Toplam Alan} = (2a^2 - 5a) + (2a^2 - 2a) + (2a^2 + a) + (2a^2 + 4a) + (2a^2 + 7a) + (2a^2 + 10a) + (2a^2 + 13a) \)
Önce \(a^2\) terimlerini toplayalım:
\( 2a^2 \times 7 = 14a^2 \)
Şimdi \(a\) terimlerini toplayalım:
\( (-5a) + (-2a) + a + 4a + 7a + 10a + 13a \)
\( = -7a + a + 4a + 7a + 10a + 13a \)
\( = -6a + 4a + 7a + 10a + 13a \)
\( = -2a + 7a + 10a + 13a \)
\( = 5a + 10a + 13a \)
\( = 15a + 13a \)
\( = 28a \)
Toplam alanı birleştirelim:
\( \text{Toplam Alan} = 14a^2 + 28a \)
Cevap A seçeneğidir.