Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Karenin Bir Kenar Uzunluğunu Bulma:

Kibrit çöpleriyle oluşturulan karesel bölgenin çevre uzunluğu $(32x - 48)$ birimdir. Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Karenin bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim:

$4a = 32x - 48$

Her iki tarafı 4'e bölerek $a$'yı buluruz:

$a = \frac{32x - 48}{4} = 8x - 12$

• 2. Madeni Paranın Yarıçapını Bulma:

Şekilde görüldüğü gibi, kare içerisine yerleştirilen 4 adet özdeş madeni para, karenin bir kenarı boyunca iki paranın çapı kadar yer kaplar. Yani, karenin bir kenar uzunluğu, iki madeni paranın çapının toplamına eşittir. Bir madeni paranın yarıçapına $r$ dersek, çapı $2r$ olur.

$a = 2 \times (2r) = 4r$

Bulduğumuz $a$ değerini yerine yazalım:

$4r = 8x - 12$

Her iki tarafı 4'e bölerek $r$'yi buluruz:

$r = \frac{8x - 12}{4} = 2x - 3$

• 3. Madeni Paranın Üst Yüzey Alanını Bulma:

Madeni paranın üst yüzeyi daire biçimindedir. Bir dairenin alanı $\pi r^2$ formülü ile hesaplanır. Soruda $\pi$ yerine 3 almamız istenmiştir.

$Alan = \pi r^2$

$Alan = 3 \times (2x - 3)^2$

Önce parantez içindeki ifadeyi açalım: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ formülünü kullanarak:

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$

Şimdi bu ifadeyi 3 ile çarpalım:

$Alan = 3 \times (4x^2 - 12x + 9)$

$Alan = 12x^2 - 36x + 27$

Bu cebirsel ifade, madeni paralardan birinin birimkare cinsinden üst yüzünün alanını vermektedir.

Cevap D seçeneğidir.