Verilen soruyu adım adım çözelim:
- Adım 1: Başlangıçtaki kağıdın boyutları ve alanı.
Başlangıçta kenar uzunluğu \((4x + 6)\) cm olan kare şeklinde bir kağıt vardır.
Karenin alanı: \(A_{kare} = (4x + 6)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(6) + 6^2 = 16x^2 + 48x + 36\) cm\(^2\).
- Adım 2: Kağıdın katlanması.
Kağıt, ok yönünde tam ortadan ikiye katlanıyor. Bu, karenin yatay olarak ikiye katlanması anlamına gelir.
Katlama sonucunda oluşan yeni şekil bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgen iki kat kağıttan oluşur.
Dikdörtgenin boyutları:
- Uzun kenar: \((4x + 6)\) cm (karenin bir kenarı)
- Kısa kenar: \(\frac{4x + 6}{2} = (2x + 3)\) cm (karenin kenarının yarısı)
Bu dikdörtgenin tek katının alanı: \(A_{dikdörtgen} = (4x + 6)(2x + 3)\)
\(A_{dikdörtgen} = 4x \cdot 2x + 4x \cdot 3 + 6 \cdot 2x + 6 \cdot 3\)
\(A_{dikdörtgen} = 8x^2 + 12x + 12x + 18\)
\(A_{dikdörtgen} = 8x^2 + 24x + 18\) cm\(^2\).
Bu alan, başlangıçtaki karenin alanının yarısıdır: \(\frac{1}{2}(16x^2 + 48x + 36) = 8x^2 + 24x + 18\).
- Adım 3: Katlanmış kağıdın kesilmesi.
Elde edilen iki katlı dikdörtgen, köşegeni boyunca kesiliyor. Bir dikdörtgen köşegeni boyunca kesildiğinde iki eş dik üçgen oluşur.
Kağıt iki katlı olduğu için, bu kesim sonucunda toplamda \(2 \times 2 = 4\) adet eş dik üçgen elde edilir.
Her bir üçgenin alanı: \(A_{üçgen} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}\)
\(A_{üçgen} = \frac{1}{2} \times (4x + 6) \times (2x + 3)\)
\(A_{üçgen} = \frac{1}{2} (8x^2 + 24x + 18)\)
\(A_{üçgen} = 4x^2 + 12x + 9\) cm\(^2\).
- Adım 4: Parçaların atılması ve kalan parçanın açılması.
Kesim sonucunda elde edilen parçalardan "küçük olan ikisi atılıyor" denilmiştir. Tüm dört üçgen eş olduğu için, bu ifade "iki tanesi atılıyor" şeklinde yorumlanmalıdır.
Geriye \(4 - 2 = 2\) adet üçgen kalır.
Kalan iki üçgenin toplam alanı: \(2 \times A_{üçgen} = 2 \times (4x^2 + 12x + 9) = 8x^2 + 24x + 18\) cm\(^2\).
Kalan parça "açılıyor". Katlanmış dikdörtgenin köşegeni boyunca kesilmesiyle oluşan iki üçgen, tekrar birleştirildiğinde (açıldığında) başlangıçtaki dikdörtgeni oluşturur.
Dolayısıyla, son durumda açılan parçanın alanı, Adım 2'de hesapladığımız dikdörtgenin alanına eşittir.
Son durumda açılan parçanın alanı: \(8x^2 + 24x + 18\) cm\(^2\).
Bu cebirsel ifade A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.