Sorunun Çözümü
- Toplam top sayısı $90$'dır. Siyah top sayısı $30$, beyaz top sayısı $18$'dir.
- Kalan kırmızı ve yeşil topların toplamı $90 - (30 + 18) = 42$'dir. Yani $K + Y = 42$.
- Sorudaki koşullara göre:
- Siyah top sayısı en fazladır ($30$). Bu durumda kırmızı ($K$) ve yeşil ($Y$) top sayıları $30$'dan az olmalıdır: $K < 30$ ve $Y < 30$.
- Beyaz top sayısı en azdır ($18$). Bu durumda kırmızı ($K$) ve yeşil ($Y$) top sayıları $18$'den fazla olmalıdır: $K > 18$ ve $Y > 18$.
- Tüm renklerin sayıları birbirinden farklıdır. Yani $K \ne Y$, $K \ne 30$, $K \ne 18$, $Y \ne 30$, $Y \ne 18$.
- Bu koşulları birleştirirsek, kırmızı ve yeşil top sayıları için $18 < K < 30$, $18 < Y < 30$ ve $K \ne Y$ olmalıdır.
- $K+Y=42$ denklemini ve yukarıdaki koşulları sağlayan olası $(K, Y)$ çiftlerini bulalım:
- Eğer $K=19$ ise $Y = 42 - 19 = 23$. ($18 < 19 < 30$, $18 < 23 < 30$ ve $19 \ne 23$ koşulları sağlanır.)
- Eğer $K=20$ ise $Y = 42 - 20 = 22$. ($18 < 20 < 30$, $18 < 22 < 30$ ve $20 \ne 22$ koşulları sağlanır.)
- Eğer $K=21$ ise $Y = 42 - 21 = 21$. ($K \ne Y$ koşulu sağlanmaz.)
- Eğer $K=22$ ise $Y = 42 - 22 = 20$. (Geçerli bir durumdur.)
- Eğer $K=23$ ise $Y = 42 - 23 = 19$. (Geçerli bir durumdur.)
- $K \ge 24$ veya $K \le 18$ olursa, $Y$ değeri $18 < Y < 30$ koşulunu sağlamaz. (Örnek: $K=24 \implies Y=18$, $Y > 18$ koşulunu sağlamaz.)
- Buna göre, kırmızı top sayısının olası değerleri $19, 20, 22, 23$'tür.
- Şimdi seçeneklerde verilen olasılıkları kontrol edelim:
- A) $\frac{1}{2} = \frac{45}{90}$. $K=45$ olamaz ($K < 30$).
- B) $\frac{1}{6} = \frac{15}{90}$. $K=15$ olamaz ($K > 18$).
- C) $\frac{3}{10} = \frac{27}{90}$. Eğer $K=27$ ise $Y = 42 - 27 = 15$. Bu durumda $Y > 18$ koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla $K=27$ olamaz.
- D) $\frac{2}{9} = \frac{20}{90}$. $K=20$ olabilir. Bu değer, olası kırmızı top sayılarından biridir.
- Doğru Seçenek D'dır.