Sorunun Çözümü
- Toplam kalem sayısını $T$, mavi kalem sayısını $M$, siyah kalem sayısını $S$ ve kırmızı kalem sayısını $K$ ile gösterelim.
- Mavi kalem seçme olasılığı $P(M) = \frac{M}{T} = \frac{2}{7}$ olarak verilmiştir. Bu durumda $M = 2k$ ve $T = 7k$ diyebiliriz, burada $k$ bir pozitif tam sayıdır.
- Kalan kalemler siyah ve kırmızıdır: $S + K = T - M = 7k - 2k = 5k$.
- Siyah kalem seçme olasılığı kırmızı kalem seçme olasılığından fazla olduğundan $S > K$ olmalıdır.
- Toplam kalem sayısı $T > 50$ olduğundan, $7k > 50 \implies k > \frac{50}{7} \approx 7.14$. Dolayısıyla $k$ için en küçük tam sayı değeri $8$'dir.
- $k = 8$ için:
- $T = 7 \times 8 = 56$
- $M = 2 \times 8 = 16$
- $S + K = 5 \times 8 = 40$
- $S + K = 40$ ve $S > K$ koşulunu sağlayan en küçük $S$ değeri için, $S$ ve $K$ birbirine en yakın olmalıdır. $S = 21$ ve $K = 19$ seçersek $21 > 19$ ve $21 + 19 = 40$ sağlanır. Bu durumda $S = 21$ en küçük değerdir.
- $k$ değerini artırmak ($k=9, 10, \dots$) $5k$ değerini artıracağından, $S$ değeri de artacaktır. Bu nedenle $k=8$ için bulunan $S=21$ değeri, tüm koşulları sağlayan en küçük siyah kalem sayısıdır.
- Doğru Seçenek A'dır.