Verilen bilgilere göre, 5 adet beyaz top ve belirli sayıda kırmızı top bulunmaktadır. Kırmızı top sayısına K diyelim. Toplam top sayısı 5 + K'dir.
- Topların tamamı A, B, C, D olmak üzere 4 kutuya dağıtılıyor.
- Her kutudan rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı birbirine eşittir. Bu olasılığa p diyelim.
Bu koşulun sağlanabilmesi için:
- Her kutuda en az bir beyaz top bulunmalıdır. Aksi takdirde, bir kutuda beyaz top yoksa olasılık 0 olur, diğer kutularda varsa olasılık 0'dan büyük olur ve eşitlik bozulur.
- Toplam 5 beyaz top ve 4 kutu olduğuna göre, her kutuda en az 1 beyaz top bulunması durumunda, beyaz topların kutulara dağılımı sadece bir şekilde olabilir: bir kutuda 2 beyaz top, diğer üç kutuda ise 1'er beyaz top. (Örneğin, A kutusunda 2, B, C, D kutularında 1'er beyaz top.)
Şimdi olasılık eşitliğini inceleyelim:
- Bir kutudaki beyaz top sayısı \(b_i\) ve o kutudaki toplam top sayısı \(t_i\) ise, beyaz top çekme olasılığı \(p = \frac{b_i}{t_i}\)'dir.
- Bu durumda, \(t_i = \frac{b_i}{p}\) olur.
- \(t_i\) bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, \(p\)'nin paydası \(b_i\)'yi tam bölmelidir. Beyaz top sayıları (\(b_i\)) 1 veya 2 olduğundan, \(p\)'nin payı 1 olmalıdır. Yani \(p\), \(\frac{1}{y}\) şeklinde bir kesir olmalıdır (burada \(y\) bir tam sayıdır).
- O zaman, her kutudaki toplam top sayısı \(t_i = b_i \cdot y\) şeklinde yazılabilir.
Beyaz top dağılımı (2, 1, 1, 1) olduğuna göre:
- Bir kutuda 2 beyaz top varsa, o kutudaki toplam top sayısı \(2y\) olur.
- Diğer üç kutuda 1'er beyaz top varsa, bu kutulardaki toplam top sayısı \(1y\) (yani \(y\)) olur.
Tüm kutulardaki toplam top sayısı:
\(T_{toplam} = 2y + y + y + y = 5y\)
Başlangıçtaki toplam top sayısı \(5 + K\) olduğundan, bu iki ifade birbirine eşit olmalıdır:
\(5 + K = 5y\)
Bu eşitliği K için çözersek:
\(K = 5y - 5\)
\(K = 5(y - 1)\)
Bu denklem, kırmızı top sayısı K'nin 5'in bir katı olması gerektiğini göstermektedir.
Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) 48 (5'in katı değil)
- B) 55 (5'in katı)
- C) 63 (5'in katı değil)
- D) 72 (5'in katı değil)
Seçenekler arasında 5'in katı olan tek sayı 55'tir. Bu durumda \(y-1 = 11\) ve \(y = 12\) olur. Bu da \(p = \frac{1}{12}\) olasılığını verir ve tutarlı bir dağılım oluşturulabilir.
Cevap B seçeneğidir.