Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Toplam Öğrenci Sayılarını Belirleyelim:
  • Toplam Kız Öğrenci Sayısı: 19
  • Toplam Erkek Öğrenci Sayısı: 17
  • Toplam Öğrenci Sayısı: $19 + 17 = 36$
• 2. A Otobüsü Hakkındaki Bilgiyi Kullanalım:
  • A otobüsünden rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı $\frac{1}{3}$'tür.
  • A otobüsündeki erkek öğrenci sayısına $E_A$, toplam öğrenci sayısına $T_A$ diyelim.
  • Bu durumda, $P(Erkek|A) = \frac{E_A}{T_A} = \frac{1}{3}$ olur.
  • Bu eşitlikten $T_A = 3E_A$ sonucunu çıkarırız.
  • A otobüsündeki kız öğrenci sayısı $K_A = T_A - E_A = 3E_A - E_A = 2E_A$ olur.
• 3. $E_A$ için Geçerli Değer Aralığını Bulalım:
  • $E_A$ (A otobüsündeki erkek öğrenci sayısı) 0'dan büyük olmalıdır (çünkü olasılık 0 değil).
  • $E_A \le 17$ (toplam erkek öğrenci sayısı).
  • $K_A = 2E_A \le 19$ (toplam kız öğrenci sayısı) $\implies E_A \le 9.5$. Yani $E_A \le 9$.
  • $T_A = 3E_A \le 36$ (toplam öğrenci sayısı) $\implies E_A \le 12$.
  • Tüm bu koşulları sağlayan $E_A$ değerleri $1, 2, ..., 9$ arasındaki tam sayılardır.
• 4. B Otobüsündeki Erkek Olma Olasılığını İfade Edelim:
  • B otobüsündeki erkek öğrenci sayısına $E_B$, toplam öğrenci sayısına $T_B$ diyelim.
  • $E_B = \text{Toplam Erkek Öğrenci} - E_A = 17 - E_A$.
  • $T_B = \text{Toplam Öğrenci} - T_A = 36 - 3E_A$.
  • B otobüsünden rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı $P(Erkek|B) = \frac{E_B}{T_B} = \frac{17 - E_A}{36 - 3E_A}$ olur.
• 5. B Otobüsündeki Erkek Olma Olasılığını Maksimum Yapalım:
  • $P(Erkek|B)$ ifadesini maksimum yapmak için $E_A$ değerini nasıl seçmeliyiz?
  • Fonksiyonun türevini alarak veya değerleri deneyerek bu ifadenin $E_A$ arttıkça arttığını görebiliriz.
  • $f(E_A) = \frac{17 - E_A}{36 - 3E_A}$ fonksiyonunun türevi $f'(E_A) = \frac{15}{(36 - 3E_A)^2}$ olup, bu değer her zaman pozitiftir.
  • Bu durumda, $P(Erkek|B)$ olasılığını maksimum yapmak için $E_A$'nın alabileceği en büyük değeri seçmeliyiz.
  • $E_A$ için bulduğumuz en büyük geçerli değer 9'dur.
• 6. Maksimum Olasılığı Hesaplayalım:
  • $E_A = 9$ alırsak:
  • A otobüsü için: $E_A = 9$, $T_A = 3 \times 9 = 27$, $K_A = 2 \times 9 = 18$. (Kontrol: $9 \le 17$, $18 \le 19$, $27 \le 36$ hepsi geçerli).
  • B otobüsü için:
  • $E_B = 17 - E_A = 17 - 9 = 8$.
  • $T_B = 36 - T_A = 36 - 27 = 9$.
  • B otobüsünden rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı: $P(Erkek|B) = \frac{E_B}{T_B} = \frac{8}{9}$.

Cevap D seçeneğidir.