Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.
- Adım 1: Torbadaki top sayılarını ve toplam top sayısını belirleyelim.
- Kırmızı top sayısı: $K = 6$
- Yeşil top sayısı: $Y = 10$
- Mor top sayısı: $M = x$
- Toplam top sayısı: $T = K + Y + M = 6 + 10 + x = 16 + x$
- Adım 2: Topların çekilme olasılıklarını ifade edelim.
- Kırmızı top çekme olasılığı: $P(K) = \frac{6}{16+x}$
- Yeşil top çekme olasılığı: $P(Y) = \frac{10}{16+x}$
- Mor top çekme olasılığı: $P(M) = \frac{x}{16+x}$
- Adım 3: Soruda verilen olasılık koşulunu uygulayalım.
Mor olma olasılığı, kırmızı olma olasılığından fazla fakat yeşil olma olasılığından azdır:
$P(K) < P(M) < P(Y)$
$\frac{6}{16+x} < \frac{x}{16+x} < \frac{10}{16+x}$
Paydalar eşit ve pozitif olduğu için (top sayısı pozitif olmalı), paylar arasındaki ilişkiyi doğrudan yazabiliriz:
$6 < x < 10$
$x$ bir top sayısı olduğu için tam sayı olmalıdır. Bu durumda $x$ için olası değerler $7, 8, 9$ olabilir.
- Adım 4: Yeşil top çekme olasılığı için olası değerleri bulalım.
Yeşil top çekme olasılığı $P(Y) = \frac{10}{16+x}$ formülü ile hesaplanır.
- Eğer $x=7$ ise, $P(Y) = \frac{10}{16+7} = \frac{10}{23}$
- Eğer $x=8$ ise, $P(Y) = \frac{10}{16+8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$
- Eğer $x=9$ ise, $P(Y) = \frac{10}{16+9} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$
Bu durumda, yeşil top çekme olasılığı $\frac{10}{23}$, $\frac{5}{12}$ veya $\frac{2}{5}$ olabilir.
- Adım 5: Seçenekleri kontrol edelim.
- A) $\frac{2}{5}$: Bu değer $x=9$ iken mümkündür.
- B) $\frac{5}{12}$: Bu değer $x=8$ iken mümkündür.
- D) $\frac{10}{23}$: Bu değer $x=7$ iken mümkündür.
- C) $\frac{5}{13}$: Bu değerin mümkün olup olmadığını kontrol edelim.
Eğer $P(Y) = \frac{10}{16+x} = \frac{5}{13}$ olsaydı:
$\frac{10}{16+x} = \frac{5}{13} \implies 10 \times 13 = 5 \times (16+x)$
$130 = 80 + 5x$
$5x = 130 - 80$
$5x = 50$
$x = 10$
Ancak, $x$ için bulduğumuz aralık $6 < x < 10$ idi. $x=10$ bu aralığın dışında olduğu için, $\frac{5}{13}$ olasılığı mümkün değildir.
Cevap C seçeneğidir.