Sorunun Çözümü
- Toplam kart sayısı $n$'dir.
- 1'den $n$'ye kadar olan tamkare sayılar $1^2, 2^2, ..., k^2$ şeklindedir, burada $k^2 \le n$.
- Tamkare sayı adedi $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$'dir.
- Tamkare olma olasılığı $\frac{k}{n}$ olarak verilir.
- Soruda bu olasılık $\frac{1}{4}$ olarak verilmiştir, yani $\frac{k}{n} = \frac{1}{4}$.
- Bu durumda $n = 4k$ olur.
- $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ tanımından $k \le \sqrt{n} < k+1$ eşitsizliği elde edilir.
- $n = 4k$ değerini eşitsizlikte yerine koyarsak $k \le \sqrt{4k} < k+1$ olur.
- Bu eşitsizliği iki parçaya ayıralım: $k \le \sqrt{4k}$ ve $\sqrt{4k} < k+1$.
- Birinci kısım: $k \le \sqrt{4k} \implies k^2 \le 4k$. $k$ pozitif olduğundan her iki tarafı $k$ ile bölersek $k \le 4$ elde edilir.
- İkinci kısım: $\sqrt{4k} < k+1 \implies 4k < (k+1)^2 \implies 4k < k^2 + 2k + 1 \implies 0 < k^2 - 2k + 1 \implies 0 < (k-1)^2$.
- Bu eşitsizlik $k \ne 1$ için geçerlidir.
- $k \le 4$ ve $k \ne 1$ koşullarını sağlayan $k$ değerleri $2, 3, 4$'tür.
- $n$'nin en küçük değerini bulmak için, $k$'nın en küçük değerini almalıyız, bu da $k=2$'dir.
- $k=2$ için $n = 4k = 4 \times 2 = 8$.
- Kontrol edelim: $n=8$ için tamkare sayılar {1, 4}'tür, yani $k=2$. Olasılık $2/8 = 1/4$. Bu doğrudur.
- Doğru Seçenek D'dır.