Sorunun Çözümü
- Başlangıçta kumbarada $x$ adet $1 TL$'lik ve $y$ adet $50$ kuruşluk madeni para olsun. Toplam $80$ madeni para vardır: $x + y = 80$.
- $5$ madeni para çekildikten sonra $80 - 5 = 75$ madeni para kalır. Kalan paraların değeri $55 TL$'dir.
- Kalan paraların $x'$ adedi $1 TL$'lik, $y'$ adedi $50$ kuruşluk olsun. Bu durumda $x' + y' = 75$ ve $x' \cdot 1 TL + y' \cdot 0.5 TL = 55 TL$.
- Bu denklemleri çözerek kalan para sayılarını bulalım:
- $x' + y' = 75$
- $x' + 0.5y' = 55$
- İlk denklemden ikinci denklemi çıkarırsak: $(x' + y') - (x' + 0.5y') = 75 - 55 \Rightarrow 0.5y' = 20 \Rightarrow y' = 40$.
- $y' = 40$ değerini $x' + y' = 75$ denklemine yazarsak $x' + 40 = 75 \Rightarrow x' = 35$.
- Yani, $5$ madeni para çekildikten sonra $35$ adet $1 TL$'lik ve $40$ adet $50$ kuruşluk madeni para kalmıştır.
- Çekilen $5$ madeni paranın $d_1$ adedi $1 TL$'lik, $d_{0.5}$ adedi $50$ kuruşluk olsun. $d_1 + d_{0.5} = 5$.
- Başlangıçtaki $1 TL$'lik madeni para sayısı $x = x' + d_1 = 35 + d_1$'dir.
- Başlangıçtaki $50$ kuruşluk madeni para sayısı $y = y' + d_{0.5} = 40 + d_{0.5}$'tir.
- Soruda "ilk durumda kumbaradan rastgele çekilen bir madeni paranın $1 TL$'lik olma olasılığı en çok kaçtır?" diye soruluyor. Bu, başlangıçtaki $1 TL$'lik madeni para sayısının ($x$) en fazla olması gerektiği anlamına gelir.
- $x = 35 + d_1$ ifadesinde $x$'i en büyük yapmak için $d_1$'i en büyük seçmeliyiz. Çekilen toplam $5$ madeni para olduğundan, $d_1$ en fazla $5$ olabilir.
- Eğer $d_1 = 5$ ise, $x = 35 + 5 = 40$. Bu durumda $d_{0.5} = 0$.
- Yani, başlangıçta en fazla $40$ adet $1 TL$'lik madeni para vardır. Toplam madeni para sayısı $80$'dir.
- İlk durumda rastgele çekilen bir madeni paranın $1 TL$'lik olma olasılığı: $\frac{\text{1 TL'lik madeni para sayısı}}{\text{Toplam madeni para sayısı}} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
- Doğru Seçenek B'dır.