Sorunun Çözümü
Verilen 5 topun üzerindeki sayılar şunlardır:
- $\sqrt{3}$
- $2$
- $\sqrt{5}$
- $\sqrt{6}$
- $3$
Bu toplardan rastgele arka arkaya 2 top çekiliyor. Çekilen topların üzerindeki sayıların çarpımının 5'ten küçük olma olasılığına ait olası durum sayısını bulmalıyız. İki topun çekilme sırası çarpımı etkilemediği için, farklı ikili kombinasyonları inceleyeceğiz.
Sayıların yaklaşık değerleri:
- $\sqrt{3} \approx 1.73$
- $\sqrt{5} \approx 2.24$
- $\sqrt{6} \approx 2.45$
Şimdi tüm olası ikili çarpımları inceleyelim ve çarpımın 5'ten küçük olup olmadığını kontrol edelim:
- ($\sqrt{3}$, 2): $\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$. $3^2=9$ ve $4^2=16$ olduğundan, $3 < \sqrt{12} < 4$. Yani $\sqrt{12} < 5$. (Geçerli)
- ($\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$): $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$. $3^2=9$ ve $4^2=16$ olduğundan, $3 < \sqrt{15} < 4$. Yani $\sqrt{15} < 5$. (Geçerli)
- ($\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$): $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18}$. $4^2=16$ ve $5^2=25$ olduğundan, $4 < \sqrt{18} < 5$. Yani $\sqrt{18} < 5$. (Geçerli)
- ($\sqrt{3}$, 3): $\sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$. $5^2=25$ ve $6^2=36$ olduğundan, $5 < \sqrt{27} < 6$. Yani $\sqrt{27} \not< 5$. (Geçersiz)
- (2, $\sqrt{5}$): $2 \times \sqrt{5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = \sqrt{20}$. $4^2=16$ ve $5^2=25$ olduğundan, $4 < \sqrt{20} < 5$. Yani $\sqrt{20} < 5$. (Geçerli)
- (2, $\sqrt{6}$): $2 \times \sqrt{6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = \sqrt{24}$. $4^2=16$ ve $5^2=25$ olduğundan, $4 < \sqrt{24} < 5$. Yani $\sqrt{24} < 5$. (Geçerli)
- (2, 3): $2 \times 3 = 6$. $6 \not< 5$. (Geçersiz)
- ($\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$): $\sqrt{5} \times \sqrt{6} = \sqrt{30}$. $5^2=25$ ve $6^2=36$ olduğundan, $5 < \sqrt{30} < 6$. Yani $\sqrt{30} \not< 5$. (Geçersiz)
- ($\sqrt{5}$, 3): $\sqrt{5} \times 3 = 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$. $6^2=36$ ve $7^2=49$ olduğundan, $6 < \sqrt{45} < 7$. Yani $\sqrt{45} \not< 5$. (Geçersiz)
- ($\sqrt{6}$, 3): $\sqrt{6} \times 3 = 3\sqrt{6} = \sqrt{54}$. $7^2=49$ ve $8^2=64$ olduğundan, $7 < \sqrt{54} < 8$. Yani $\sqrt{54} \not< 5$. (Geçersiz)
Yukarıdaki incelemeye göre, çarpımı 5'ten küçük olan 5 adet olası durum bulunmaktadır:
- ($\sqrt{3}$, 2)
- ($\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$)
- ($\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$)
- (2, $\sqrt{5}$)
- (2, $\sqrt{6}$)
Bu nedenle, çekilen topların üzerindeki sayıların çarpımının 5'ten küçük olma olayına ait olası durum sayısı 5'tir.
Cevap A seçeneğidir.