Sorunun Çözümü
- Öncelikle mor kutulardaki sayıları basitleştirelim ve irrasyonel olanları belirleyelim:
\(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{64} = 8\) (Bu sayı rasyoneldir, bu yüzden çarpma işleminde "irrasyonel sayı" olarak kullanılamaz.)
- Kullanabileceğimiz irrasyonel sayılar:
\(\sqrt{3}, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 4\sqrt{3}, 5\sqrt{2}\)
- Kırmızı kutulara doğal sayı yazmak için, kök içleri aynı olan irrasyonel sayıları çarpmalıyız. Yeşil kutuya en büyük değeri yazmak için, kırmızı kutulara yazılacak sayıların toplamını maksimum yapmalıyız. Her sayı bir kez kullanılabilir.
- Olası çarpım çiftleri ve sonuçları:
\(\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\)
\(2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16\)
\(2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20\)
\(4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 4 \cdot 5 \cdot 2 = 40\)
- En büyük toplamı elde etmek için, en büyük çarpımları veren ve birbirini dışlayan iki çifti seçmeliyiz:
- Birinci çift:
\(4\sqrt{2}\)
ve\(5\sqrt{2}\)
seçilirse, çarpım\(40\)
olur. - Geriye kalan sayılar:
\(\sqrt{3}, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{3}\)
. Bu sayılardan ikinci bir çift oluşturabiliriz. - İkinci çift:
\(\sqrt{3}\)
ve\(4\sqrt{3}\)
seçilirse, çarpım\(12\)
olur. - Bu durumda kullanılan sayılar
\(4\sqrt{2}, 5\sqrt{2}, \sqrt{3}, 4\sqrt{3}\)
olup hepsi farklıdır. Kırmızı kutulardaki sayılar\(40\)
ve\(12\)
olur. Bu sayılar farklı doğal sayılardır.
- Birinci çift:
- Yeşil kutuya yazılacak en büyük toplam:
\(40 + 12 = 52\)
- Doğru Seçenek C'dır.