Sorunun Çözümü
Çözüm:
- Başlangıçtaki dikdörtgenin kısa kenar uzunluğuna $W$, uzun kenar uzunluğuna $L$ diyelim. Soruda verilen ilk kesim, kısa kenarlara paralel yapılmıştır. Bu, $L$ kenarının bölündüğü anlamına gelir. Yani, $W < L$ kabul ediyoruz.
- İlk kesim sonucunda $L$ kenarı $L_1$ ve $L_2$ olarak ikiye ayrılır. Elde edilen iki dikdörtgenin boyutları $W \times L_1$ ve $W \times L_2$ olur.
- Bu iki parça da kendi kısa kenarlarına paralel olarak kesiliyor. İkinci resimde kesimlerin yatay olduğu görülmektedir. Bu, $L_1$ ve $L_2$ kenarlarının bölündüğü anlamına gelir. Dolayısıyla, $W$ her iki parçanın da kısa kenarı olmalıdır. Yani, $W < L_1$ ve $W < L_2$ koşulları sağlanmalıdır.
- Birinci parça ($W \times L_1$) iki eş kareye ayrılıyor. Bu durumda, karelerin bir kenarı $W$ olmalı ve $L_1 = 2W$ olmalıdır.
- İkinci parça ($W \times L_2$) üç eş kareye ayrılıyor. Bu durumda, karelerin bir kenarı $W$ olmalı ve $L_2 = 3W$ olmalıdır.
- Karelerin her birinin kenar uzunluğu doğal sayı olduğu için $W$ bir doğal sayıdır.
- Başlangıçtaki dikdörtgenin boyutları $W \times (L_1 + L_2)$ idi. Yerine yazarsak $W \times (2W + 3W) = W \times 5W$ olur.
- Başlangıçtaki dikdörtgenin alanı $W \times 5W = 5W^2$ olur.
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $100 = 5W^2 \implies W^2 = 20$. $W = \sqrt{20}$ (doğal sayı değil).
- B) $125 = 5W^2 \implies W^2 = 25 \implies W = 5$ (doğal sayı). Bu bir olasılıktır.
- C) $160 = 5W^2 \implies W^2 = 32$. $W = \sqrt{32}$ (doğal sayı değil).
- D) $189 = 5W^2 \implies W^2 = 189/5$. $189$ beşe bölünemez, dolayısıyla $W$ doğal sayı olamaz.
- Bu yorumlamaya göre doğru cevap B seçeneğidir. Ancak sorunun doğru cevabı D olarak verilmiştir. Bu, yorumlamamızda bir hata olduğunu gösterir.
- Soruyu tekrar inceleyelim. "kısa kenarlarına paralel olarak kesildiğinde" ifadesi, kesimin kısa kenara paralel olduğunu ve bu kesimin uzun kenarı böldüğünü ifade eder. İkinci resimdeki kesimler yataydır. Bu, parçaların uzun kenarlarının bölündüğü anlamına gelir.
- Eğer ilk kesim dikey ise (resimdeki gibi), o zaman orijinal dikdörtgenin yüksekliği kısa kenarıdır. Diyelim ki orijinal dikdörtgenin boyutları $H \times W