Sorunun Çözümü
- Şifre altı hanelidir ve tüm rakamlar sıfırdan farklıdır. Şifreyi $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6$ olarak gösterelim.
- İlk hane ($d_1$): Bir rakamdır ve sıfırdan farklı olmalıdır. Yani $d_1 \in \{1, 2, ..., 9\}$.
- İkinci ve üçüncü haneler ($d_2 d_3$): İlk hanedeki rakamın ($d_1$) karesi olan iki basamaklı sayıdır.
- $d_1^2$ iki basamaklı olmalı ve rakamları sıfırdan farklı olmalıdır.
- Olası $d_1$ değerleri ve kareleri:
- $1^2=1$ (tek basamaklı)
- $2^2=4$ (tek basamaklı)
- $3^2=9$ (tek basamaklı)
- $4^2=16$. $d_2=1, d_3=6$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- $5^2=25$. $d_2=2, d_3=5$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- $6^2=36$. $d_2=3, d_3=6$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- $7^2=49$. $d_2=4, d_3=9$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- $8^2=64$. $d_2=6, d_3=4$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- $9^2=81$. $d_2=8, d_3=1$. (Rakamlar sıfırdan farklı. Geçerli.)
- Son üç hane ($d_4 d_5 d_6$): İkinci ve üçüncü hanelerin oluşturduğu iki basamaklı sayının ($Y = 10d_2 + d_3$) karesi olan üç basamaklı sayıdır.
- $Y^2$ üç basamaklı olmalı ve rakamları sıfırdan farklı olmalıdır.
- Yukarıdaki geçerli $d_1$ değerleri için kontrol edelim:
- Eğer $d_1=4$: $d_2 d_3 = 16$. $Y=16$.
- $Y^2 = 16^2 = 256$. (Üç basamaklı ve rakamları $2, 5, 6$ sıfırdan farklı. Geçerli.)
- Şifre: $416256$. Rakam toplamı: $4+1+6+2+5+6 = 24$.
- Eğer $d_1=5$: $d_2 d_3 = 25$. $Y=25$.
- $Y^2 = 25^2 = 625$. (Üç basamaklı ve rakamları $6, 2, 5$ sıfırdan farklı. Geçerli.)
- Şifre: $525625$. Rakam toplamı: $5+2+5+6+2+5 = 25$.
- Eğer $d_1=6$: $d_2 d_3 = 36$. $Y=36$.
- $Y^2 = 36^2 = 1296$. (Dört basamaklı. Geçersiz.)
- Eğer $d_1=7$: $d_2 d_3 = 49$. $Y=49$.
- $Y^2 = 49^2 = 2401$. (Dört basamaklı. Geçersiz.)
- Eğer $d_1=8$: $d_2 d_3 = 64$. $Y=64$.
- $Y^2 = 64^2 = 4096$. (Dört basamaklı ve rakamları arasında sıfır var. Geçersiz.)
- Eğer $d_1=9$: $d_2 d_3 = 81$. $Y=81$.
- $Y^2 = 81^2 = 6561$. (Dört basamaklı. Geçersiz.)
- Eğer $d_1=4$: $d_2 d_3 = 16$. $Y=16$.
- Yukarıdaki analizlere göre, sadece iki geçerli şifre ve dolayısıyla iki farklı rakam toplamı değeri bulunmaktadır:
- Şifre 1: $416256$, rakam toplamı: $24$.
- Şifre 2: $525625$, rakam toplamı: $25$.
- Şifredeki rakamların toplamı 2 farklı değer (24 ve 25) alabilir.
- Doğru Seçenek B'dır.