Verilen problemde eşkenar üçgenlerin yükseklik ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiler kullanılarak 4. kartonun alanı istenmektedir. Eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı için verilen formülleri ve kartonlar arasındaki ilişkileri adım adım uygulayalım.

• Eşkenar Üçgen Yüksekliği Formülü: Bir kenarı $a$ olan eşkenar üçgenin yüksekliği $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$'dir.
• Eşkenar Üçgen Alan Formülü: Bir kenarı $a$ olan eşkenar üçgenin alanı $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$'tür.

Şimdi kartonların kenar uzunluklarını ve yüksekliklerini sırasıyla bulalım:

• 1. Karton:
  • Kenar uzunluğu $a_1 = 18$ cm olarak verilmiştir.
• 2. Karton:
  • 2. kartonun yüksekliği, 1. kartonun bir kenar uzunluğuna eşittir: $h_2 = a_1 = 18$ cm.
  • Yükseklik formülünü kullanarak $a_2$'yi bulalım: $h_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2} \implies 18 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2}$ $a_2\sqrt{3} = 36 \implies a_2 = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ cm.
• 3. Karton:
  • 3. kartonun yüksekliği, 2. kartonun bir kenar uzunluğuna eşittir: $h_3 = a_2 = 12\sqrt{3}$ cm.
  • Yükseklik formülünü kullanarak $a_3$'ü bulalım: $h_3 = \frac{a_3\sqrt{3}}{2} \implies 12\sqrt{3} = \frac{a_3\sqrt{3}}{2}$ $a_3 = 12 \times 2 = 24$ cm.
• 4. Karton:
  • 4. kartonun yüksekliği, 3. kartonun bir kenar uzunluğuna eşittir: $h_4 = a_3 = 24$ cm.
  • Yükseklik formülünü kullanarak $a_4$'ü bulalım: $h_4 = \frac{a_4\sqrt{3}}{2} \implies 24 = \frac{a_4\sqrt{3}}{2}$ $a_4\sqrt{3} = 48 \implies a_4 = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ cm.

Şimdi 4. kartonun alanını hesaplayalım:

• 4. kartonun kenar uzunluğu $a_4 = 16\sqrt{3}$ cm'dir.
• Alan formülünü kullanalım: $A_4 = \frac{a_4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(16\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}$ $A_4 = \frac{(16^2 \times (\sqrt{3})^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{(256 \times 3)\sqrt{3}}{4}$ $A_4 = \frac{768\sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3}$ cm$^2$.

Buna göre, 4. kartonun alanı $192\sqrt{3}$ cm$^2$'dir.

Cevap D seçeneğidir.