Sorunun Çözümü
- Verilen kareköklü ifadeleri rasyonel ve irrasyonel olarak ayıralım:
- Rasyonel: $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$
- İrrasyonel: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$
- Tabloda verilen sayılar: $C_{13} = \sqrt{3}$ (irrasyonel), $C_{31} = \sqrt{8}$ (irrasyonel).
- 1. Satır Analizi: $C_{11} \times C_{12} \times \sqrt{3}$ çarpımı rasyonel olmalı.
- $\sqrt{3}$ irrasyonel olduğu için, $C_{11} \times C_{12}$ çarpımının $k\sqrt{3}$ şeklinde olması gerekir.
- Kalan sayılar ($\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{9}$) arasından $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{6}$ seçilirse, $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ olur.
- Bu durumda $C_{11}$ ve $C_{12}$ sayıları $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{6}$ olmalıdır. (Örnek: $C_{11} = \sqrt{2}$, $C_{12} = \sqrt{6}$)
- $C_{11} \times C_{12} \times C_{13} = \sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ (Rasyonel). Bu koşul sağlanır.
- 1. Sütun Analizi: $C_{11} \times A \times \sqrt{8}$ çarpımı rasyonel olmalı.
- $C_{11} = \sqrt{2}$ ve $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ olduğu için, $\sqrt{2} \times A \times 2\sqrt{2} = 4A$.
- $4A$ çarpımının rasyonel olması için $A$ sayısının rasyonel olması gerekir.
- Şıklara baktığımızda, $A$ için rasyonel seçenekler $\sqrt{1}$, $\sqrt{4}$, $\sqrt{9}$'dur. Doğru cevap D seçeneği olduğu belirtildiğinden, $A = \sqrt{1}$ ve $B = \sqrt{9}$ değerlerini test edelim.
- D seçeneği ile devam edelim: $A = \sqrt{1}$ (rasyonel), $B = \sqrt{9}$ (rasyonel).
- Kullanılan sayılar: $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{9}$.
- Kalan sayılar: $\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$. Bu sayılar $C_{22}, C_{32}, C_{33}$ hücrelerine yerleşecek.
- 2. Satır Analizi: $A \times C_{22} \times B = \sqrt{1} \times C_{22} \times \sqrt{9}$ çarpımı rasyonel olmalı.
- $1 \times C_{22} \times 3 = 3C_{22}$. Bu çarpımın rasyonel olması için $C_{22}$ rasyonel olmalıdır.
- Kalan sayılar ($\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$) arasından sadece $\sqrt{4}$ rasyoneldir. Bu durumda $C_{22} = \sqrt{4}$ olmalıdır.
- $1 \times \sqrt{4} \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 6$ (Rasyonel). Bu koşul sağlanır.
- 3. Satır Analizi: $\sqrt{8} \times C_{32} \times C_{33}$ çarpımı irrasyonel olmalı.
- Kalan sayılar $\sqrt{5}$ ve $\sqrt{7}$'dir. Bu ikisi $C_{32}$ ve $C_{33}$ hücrelerine yerleşecektir.
- $\sqrt{8} \times \sqrt{5} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{35} = 2\sqrt{70}$ (İrrasyonel). Bu koşul sağlanır.
- Sütunları kontrol edelim:
- 1. Sütun: $C_{11} \times A \times C_{31} = \sqrt{2} \times \sqrt{1} \times \sqrt{8} = \sqrt{2} \times 1 \times 2\sqrt{2} = 4$ (Rasyonel). Koşul sağlanır.
- 2. Sütun: $C_{12} \times C_{22} \times C_{32} = \sqrt{6} \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} = \sqrt{6} \times 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{30}$ (İrrasyonel). Koşul sağlanır. (Veya $\sqrt{7}$ ile de irrasyonel olur.)
- 3. Sütun: $C_{13} \times B \times C_{33} = \sqrt{3} \times \sqrt{9} \times \sqrt{7} = \sqrt{3} \times 3 \times \sqrt{7} = 3\sqrt{21}$ (İrrasyonel). Koşul sağlanır. (Veya $\sqrt{5}$ ile de irrasyonel olur.)
- Tüm koşullar $A = \sqrt{1}$ ve $B = \sqrt{9}$ değerleri için sağlanmaktadır.
- Doğru Seçenek D'dır.