Bu soruyu adım adım çözelim:

• 1. Adım: Her satırdaki üçgen sayısını belirleyelim.
  • 1. satırda: 1 üçgen
  • 2. satırda: 3 üçgen
  • 3. satırda: 5 üçgen
  • Bu bir aritmetik dizidir. $n$. satırdaki üçgen sayısı $2n-1$ formülü ile bulunur.
• 2. Adım: Büşra'nın not aldığı sayıları ve rasyonel olma koşulunu anlayalım.
  • Büşra her satır için, o satırdaki üçgen sayısının karekökünü not alıyor. Yani $n$. satır için $\sqrt{2n-1}$ sayısını not alıyor.
  • Bir kareköklü sayı ($\sqrt{x}$) rasyoneldir, eğer $x$ bir tam kare ise. Dolayısıyla, Büşra'nın not aldığı sayıların rasyonel olması için $2n-1$ sayısının bir tam kare olması gerekir.
• 3. Adım: Rasyonel sayı veren satır numaralarını bulalım.
  • $2n-1 = k^2$ olacak şekilde $n$ değerlerini arıyoruz. $k^2$ tek bir tam kare olmalıdır.
  • $k^2 = 1 \Rightarrow 2n-1 = 1 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$ (1. satır)
  • $k^2 = 9 \Rightarrow 2n-1 = 9 \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5$ (5. satır)
  • $k^2 = 25 \Rightarrow 2n-1 = 25 \Rightarrow 2n = 26 \Rightarrow n = 13$ (13. satır)
  • $k^2 = 49 \Rightarrow 2n-1 = 49 \Rightarrow 2n = 50 \Rightarrow n = 25$ (25. satır)
  • $k^2 = 81 \Rightarrow 2n-1 = 81 \Rightarrow 2n = 82 \Rightarrow n = 41$ (41. satır)
  • ... ve bu şekilde devam eder.
• 4. Adım: Toplam rasyonel sayı sayısını kullanarak toplam satır sayısının aralığını belirleyelim.
  • Büşra'nın elinde toplam 3 adet rasyonel sayı olduğu belirtilmiştir.
  • Bu, Büşra'nın not aldığı satırlar arasında 1., 5. ve 13. satırların bulunduğunu gösterir. Çünkü bunlar ilk 3 rasyonel sayıyı veren satırlardır.
  • Dolayısıyla, Büşra en az 13. satıra kadar not almıştır. Yani toplam satır sayısı ($N$) en az 13'tür ($N \ge 13$).
  • Eğer Büşra 25. satıra kadar not almış olsaydı, 4. rasyonel sayıyı da (25. satırdan gelen $\sqrt{49}=7$) not almış olurdu. Ancak elinde sadece 3 rasyonel sayı var.
  • Bu durumda, Büşra'nın not aldığı son satır numarası ($N$) 25'ten küçük olmalıdır. Yani $N < 25$.
  • O halde, toplam satır sayısı $N$ için $13 \le N < 25$ aralığı geçerlidir.
• 5. Adım: İrrasyonel sayı adedinin aralığını bulalım.
  • Toplam not sayısı $N$'dir.
  • Rasyonel sayı adedi 3'tür.
  • İrrasyonel sayı adedi = (Toplam not sayısı) - (Rasyonel sayı adedi) = $N - 3$.
  • $N$ için bulduğumuz aralığı kullanarak irrasyonel sayı adedinin aralığını bulalım:
  • Minimum irrasyonel sayı adedi: $N=13$ için $13 - 3 = 10$.
  • Maksimum irrasyonel sayı adedi: $N=24$ için $24 - 3 = 21$.
  • Yani, Büşra'nın elindeki irrasyonel sayı adedi 10 ile 21 arasında (10 ve 21 dahil) herhangi bir tam sayı olabilir.
• 6. Adım: Seçenekleri kontrol edelim.
  • A) 9
  • B) 10
  • C) 11
  • D) 12
  • Bulduğumuz aralık ($[10, 21]$) içinde olmayan tek seçenek 9'dur.

Buna göre, Büşra'nın elinde bulunan notlardaki toplam irrasyonel sayı adedi 9 olamaz.

Cevap A seçeneğidir.