Verilen ifade $\sqrt{0,6x}$ şeklindedir. Burada "0,6x" gösterimi, $x$'in yüzde birler basamağındaki rakam olduğu bir ondalık sayıyı ifade eder. Yani, $0,6x = 0,60 + 0,0x = \frac{60+x}{100}$ olarak yazılabilir.

Soruda, $\sqrt{0,6x}$ ifadesinin bir irrasyonel sayıya eşit olduğu belirtilmiştir. Bizden istenen ise, $x$'in yerine aşağıdakilerden hangisinin yazılamayacağıdır. Bu, $\sqrt{0,6x}$ ifadesini rasyonel yapan $x$ değerini bulmamız gerektiği anlamına gelir. Çünkü eğer ifade rasyonel olursa, sorunun başlangıçtaki "irrasyonel sayıya eşit olduğu" koşulunu sağlamaz ve dolayısıyla o $x$ değeri yazılamaz.

İfadeyi rasyonel yapmak için kök içindeki sayının bir tam kare olması gerekir:

• İfadeyi yeniden yazalım: $\sqrt{0,6x} = \sqrt{\frac{60+x}{100}}$
• Bu ifadenin rasyonel olması için, kök içindeki sayının bir tam kare olması gerekir. Payda $100 = 10^2$ bir tam kare olduğundan, pay olan $60+x$ sayısının da bir tam kare olması gerekmektedir.
• $x$ bir rakam olduğu için, $x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ aralığındadır.
• Şimdi seçeneklerdeki $x$ değerlerini deneyerek $60+x$ sayısının tam kare olup olmadığını kontrol edelim:
• A) $x=9$: $60+9 = 69$. $69$ bir tam kare değildir. Dolayısıyla $\sqrt{0,69}$ irrasyoneldir. Bu $x$ değeri yazılabilir.
• B) $x=8$: $60+8 = 68$. $68$ bir tam kare değildir. Dolayısıyla $\sqrt{0,68}$ irrasyoneldir. Bu $x$ değeri yazılabilir.
• C) $x=5$: $60+5 = 65$. $65$ bir tam kare değildir. Dolayısıyla $\sqrt{0,65}$ irrasyoneldir. Bu $x$ değeri yazılabilir.
• D) $x=4$: $60+4 = 64$. $64 = 8^2$ bir tam karedir.
• Eğer $x=4$ olursa, ifade $\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0,8$ olur.
• $0,8$ bir rasyonel sayıdır. Sorunun başında ifadenin irrasyonel olduğu belirtildiği için, $x=4$ değeri bu koşulu sağlamaz. Bu nedenle $x$'in yerine $4$ yazılamaz.

Cevap D seçeneğidir.