Soru Çözümü
- Verilen ifade $10 \cdot \sqrt{2,xy}$ bir doğal sayı ise, karekök içindeki ifade $2,xy$ bir rasyonel sayı olmalı ve $100 \cdot 2,xy$ bir tam kare sayı olmalıdır.
- $2,xy$ ifadesi $2 + \frac{x}{10} + \frac{y}{100} = \frac{200 + 10x + y}{100}$ olarak yazılabilir.
- $10 \cdot \sqrt{\frac{200 + 10x + y}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{200 + 10x + y}}{10} = \sqrt{200 + 10x + y}$ bir doğal sayı olmalıdır.
- Yani, $200 + 10x + y$ bir tam kare sayı olmalıdır. Bu sayıya $K^2$ diyelim.
- $x$ ve $y$ birer rakamdır ($0 \le x \le 9$, $0 \le y \le 9$).
- $200 + 10x + y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $x=0, y=0$ için $200 + 0 + 0 = 200$'dür.
- $200 + 10x + y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer $x=9, y=9$ için $200 + 10(9) + 9 = 200 + 90 + 9 = 299$'dur.
- Bu aralıktaki tam kare sayılar şunlardır: $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, $17^2 = 289$.
- Durum 1: $200 + 10x + y = 225 \Rightarrow 10x + y = 25$. Buradan $x=2, y=5$ bulunur. $x+y = 2+5 = 7$.
- Durum 2: $200 + 10x + y = 256 \Rightarrow 10x + y = 56$. Buradan $x=5, y=6$ bulunur. $x+y = 5+6 = 11$.
- Durum 3: $200 + 10x + y = 289 \Rightarrow 10x + y = 89$. Buradan $x=8, y=9$ bulunur. $x+y = 8+9 = 17$.
- $x+y$ ifadesinin alabileceği değerler $7, 11, 17$'dir.
- Seçeneklerde verilen değerlerden $5$ bu olası değerler arasında değildir.
- Doğru Seçenek A'dır.