Sorunun Çözümü
- Verilen kareköklü ifadeleri sadeleştirme:
- $\sqrt{21}$
- $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
- $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
- $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
- $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
- $\sqrt{10}$
- Kök içindeki çarpanları belirleme:
Bir çarpımın doğal sayı olması için kök içindeki sayıların çarpımının tam kare olması gerekir. İfadelerin kök içindeki çarpanları şunlardır:
- $\sqrt{21} \rightarrow 3, 7$
- $2\sqrt{2} \rightarrow 2$
- $2\sqrt{3} \rightarrow 3$
- $2\sqrt{5} \rightarrow 5$
- $2\sqrt{7} \rightarrow 7$
- $\sqrt{10} \rightarrow 2, 5$
- İfadeleri iki gruba ayırma:
Tüm kök içindeki çarpanlar ($2, 3, 5, 7$) toplamda ikişer kez bulunur. Bu nedenle, altı ifadeyi ikişerli üçlü gruplara ayırdığımızda, bir grubun kök içindeki çarpanlarının çarpımı tam kare ise, diğer grubun da tam kare olacaktır.
- 1. Grup: Kök içindeki çarpanları $2, 5, (2 \cdot 5)$ olan ifadeler. Bu ifadeler: $\{2\sqrt{2}, 2\sqrt{5}, \sqrt{10}\}$. Kök içindeki sayıların çarpımı: $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100 = 10^2$. Bu bir tam karedir.
- 2. Grup: Kalan ifadeler. Bu ifadeler: $\{\sqrt{21}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{7}\}$. Kök içindeki sayıların çarpımı: $21 \cdot 3 \cdot 7 = (3 \cdot 7) \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7^2 = (21)^2$. Bu da bir tam karedir.
- En baştaki ve en sondaki kürelerin çarpımını en aza indirme:
Sıralamanın en baştaki sayısı 1. gruptan, en sondaki sayı 2. gruptan (veya tam tersi) seçilmelidir. Olası çarpımları hesaplayıp karşılaştırmak için tüm ifadeleri kök içine alalım:
- $(2\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{21}) = 2\sqrt{42} = \sqrt{168}$
- $(2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{6} = \sqrt{96}$
- $(2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{7}) = 4\sqrt{14} = \sqrt{224}$
- $(2\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{21}) = 2\sqrt{105} = \sqrt{420}$
- $(2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{15} = \sqrt{240}$
- $(2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{7}) = 4\sqrt{35} = \sqrt{560}$
- $(\sqrt{10}) \cdot (\sqrt{21}) = \sqrt{210}$
- $(\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{3}) = 2\sqrt{30} = \sqrt{120}$
- $(\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{70} = \sqrt{280}$
- Minimum çarpımı bulma: Kök içindeki en küçük değer $96$'dır. Bu da $4\sqrt{6}$ çarpımına karşılık gelir.
- Doğru Seçenek B'dır.