Sorunun Çözümü
- Verilen kareköklü ifadeleri basit hallerine dönüştürelim:
- Üst sıra:
- $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$
- $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
- $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$
- Alt sıra:
- $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$
- $\sqrt{15}$ (zaten basit)
- $5\sqrt{3}$ (zaten basit)
- Şu anki durumda alt alta gelen sayıların çarpımlarını inceleyelim:
- 1. sütun: $(5\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{6}) = 10 \cdot 6 = 60$ (Doğal sayı)
- 2. sütun: $(5\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{15}) = 5\sqrt{45} = 5 \cdot 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$ (Doğal sayı değil)
- 3. sütun: $(2\sqrt{15}) \cdot (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{45} = 10 \cdot 3\sqrt{5} = 30\sqrt{5}$ (Doğal sayı değil)
- Tüm çarpımların doğal sayı olması için, alt alta gelen ifadelerin kök içlerinin aynı olması veya çarpımlarının tam kare olması gerekir. Yani, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ifadesinin doğal sayı olması için $a \cdot b$ bir tam kare olmalıdır. En kolay yol kök içlerinin aynı olmasıdır.
- Üst sıradaki kök içleri sırasıyla $\sqrt{6}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{15}$'tir.
- Alt sıradaki kök içleri şu an sırasıyla $\sqrt{6}$, $\sqrt{15}$, $\sqrt{3}$'tür.
- 1. sütun zaten doğal sayı olduğu için $2\sqrt{6}$ yerinde kalmalıdır.
- 2. sütunda üstte $5\sqrt{3}$ var, altta $\sqrt{15}$ var. Çarpım doğal sayı değil. Alt sıradaki $\sqrt{15}$ yerine $\sqrt{3}$ kök içeren bir ifade gelmelidir.
- 3. sütunda üstte $2\sqrt{15}$ var, altta $5\sqrt{3}$ var. Çarpım doğal sayı değil. Alt sıradaki $5\sqrt{3}$ yerine $\sqrt{15}$ kök içeren bir ifade gelmelidir.
- Bu durumda, alt sıradaki $\sqrt{15}$ ile $5\sqrt{3}$'ün yerleri değiştirilmelidir.
- Yer değiştirme sonrası alt sıra: $2\sqrt{6}$, $5\sqrt{3}$, $\sqrt{15}$ olur.
- Yeni çarpımları kontrol edelim:
- 1. sütun: $(5\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{6}) = 60$ (Doğal sayı)
- 2. sütun: $(5\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{3}) = 25 \cdot 3 = 75$ (Doğal sayı)
- 3. sütun: $(2\sqrt{15}) \cdot (\sqrt{15}) = 2 \cdot 15 = 30$ (Doğal sayı)
- Tüm çarpımlar doğal sayı olmuştur.
- Doğru Seçenek A'dır.