Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu $a = \sqrt{40} cm$ olarak verilmiştir.
- Bu kenarı $a = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} cm$ şeklinde sadeleştirebiliriz.
- Dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ formülüyle bulunur, burada $b$ diğer kenar uzunluğudur.
- Soruda alanın bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir: $A = 2\sqrt{10} \times b \in \mathbb{N}$.
- Alanın doğal sayı olması için, $b$ kenarının $\sqrt{10}$ çarpanını içermesi gerekir. Yani $b$ bir $k\sqrt{10}$ şeklinde olmalıdır (burada $k$ pozitif bir rasyonel sayıdır).
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $b = \sqrt{10}$ ise, $A = \sqrt{40} \times \sqrt{10} = \sqrt{400} = 20$. $20$ bir doğal sayıdır. Bu olabilir.
- B) $b = \sqrt{30}$ ise, $A = \sqrt{40} \times \sqrt{30} = \sqrt{1200}$. $\sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3} = 20\sqrt{3}$. $20\sqrt{3}$ bir doğal sayı değildir. Bu olamaz.
- C) $b = \sqrt{90}$ ise, $A = \sqrt{40} \times \sqrt{90} = \sqrt{3600} = 60$. $60$ bir doğal sayıdır. Bu olabilir.
- D) $b = \sqrt{160}$ ise, $A = \sqrt{40} \times \sqrt{160} = \sqrt{6400} = 80$. $80$ bir doğal sayıdır. Bu olabilir.
- Sadece B seçeneğindeki uzunluk, dikdörtgenin alanını doğal sayı yapmaz.
- Doğru Seçenek B'dır.