Sorunun Çözümü
- Evin toplam alanı $142 m^2$'dir. Salon ve odalar dışındaki bölümlerin alanı $40 m^2$'dir.
- Salon ve odaların toplam alanı, $142 - 40 = 102 m^2$'dir.
- Salonun alanına $S$, odaların toplam alanına $O$ dersek, $S + O = 102 m^2$ olur.
- Soruda salonun alanının bir tam kare sayı olduğu ve odaların toplam alanından büyük olduğu belirtilmiştir ($S > O$).
- $S > O$ ve $S + O = 102$ olduğundan, $S > 102 - S \Rightarrow 2S > 102 \Rightarrow S > 51 m^2$.
- $S$ bir tam kare sayı ve $51 < S < 102$ aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki tam kare sayılar $64$ ($8^2$), $81$ ($9^2$) ve $100$ ($10^2$)'dür.
- Bu değerler için $S > O$ koşulunu kontrol edelim:
- Eğer $S = 64 m^2$ ise, $O = 102 - 64 = 38 m^2$. $64 > 38$ (sağlar).
- Eğer $S = 81 m^2$ ise, $O = 102 - 81 = 21 m^2$. $81 > 21$ (sağlar).
- Eğer $S = 100 m^2$ ise, $O = 102 - 100 = 2 m^2$. $100 > 2$ (sağlar).
- Salonun yüksekliği $\sqrt{32} m = \sqrt{16 \times 2} m = 4\sqrt{2} m$'dir.
- Salonun alan formülü: Alan = Yükseklik $\times$ Genişlik (soru işareti ile gösterilen kenar).
- Genişliğin en az kaç metre olduğu sorulduğu için, salonun alanının alabileceği en küçük değeri kullanmalıyız. Bu değer $S = 64 m^2$'dir.
- Salonun genişliği (soru işareti ile gösterilen kenar) $x$ olsun. $S = x \times 4\sqrt{2}$.
- $64 = x \times 4\sqrt{2}$.
- $x = \frac{64}{4\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}}$.
- Paydayı rasyonel yapmak için $\sqrt{2}$ ile çarpalım: $x = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} m$.
- Doğru Seçenek A'dır.