Verilen dikdörtgenin bir kenar uzunluğu $\sqrt{54}$ cm'dir. Bu ifadeyi sadeleştirelim:

• $\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$ cm.

Dikdörtgenin alanının doğal sayı olması için, diğer kenar uzunluğunun $\sqrt{6}$ çarpanını içermesi ve bu çarpanın karekökten kurtulmasını sağlaması gerekir. Yani, diğer kenar $k\sqrt{6}$ şeklinde olmalıdır (burada $k$ bir rasyonel sayıdır).

Şimdi seçenekleri inceleyelim ve sadeleştirelim:

• A) $7\sqrt{8} = 7\sqrt{4 \times 2} = 7 \times 2\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$
• B) $\sqrt{294} = \sqrt{49 \times 6} = 7\sqrt{6}$
• C) $\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7}$
• D) $8\sqrt{12} = 8\sqrt{4 \times 3} = 8 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

Diğer kenar uzunluğu $x$ olsun. Alan $A = 3\sqrt{6} \times x$ olacaktır. Alanın doğal sayı olması için $x$'in $\sqrt{6}$ ile çarpıldığında karekökten kurtulması gerekir.

Seçeneklere baktığımızda, sadece B) seçeneği olan $7\sqrt{6}$ ifadesi $\sqrt{6}$ çarpanını içermektedir.

Şimdi B seçeneği ile alanı hesaplayalım:

• Alan = $3\sqrt{6} \times 7\sqrt{6}$
• Alan = $(3 \times 7) \times (\sqrt{6} \times \sqrt{6})$
• Alan = $21 \times 6$
• Alan = $126$ cm$^2$

126 bir doğal sayıdır. Bu nedenle, diğer kenar uzunluğu $\sqrt{294}$ cm olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.