Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Adım: Hacimleri Sadeleştirme

Öncelikle verilen tüm hacimleri karekök dışına çıkararak sadeleştirelim:

• Boyanın toplam hacmi: $\sqrt{1620} = \sqrt{324 \times 5} = 18\sqrt{5}$ litre.
• 1. kabın hacmi: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ litre.
• 2. kabın hacmi: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$ litre.
• 3. kabın hacmi: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$ litre.
• 2. Adım: Denklemi Kurma

Kullanılan 1., 2. ve 3. kap sayısını sırasıyla $x$, $y$ ve $z$ ile gösterelim. Toplam hacim denklemini yazalım:

$$x(2\sqrt{5}) + y(3\sqrt{5}) + z(5\sqrt{5}) = 18\sqrt{5}$$

Her tarafı $\sqrt{5}$ ile bölersek, daha basit bir denklem elde ederiz:

$$2x + 3y + 5z = 18$$

• 3. Adım: Kısıtlamaları Uygulama ve En Az Kap Sayısını Bulma

Soruda belirtildiği üzere, her kap türünden en az bir adet kullanılmalıdır. Yani $x \ge 1$, $y \ge 1$ ve $z \ge 1$ olmalıdır. Amacımız, $x+y+z$ toplamını minimize etmektir.

Toplam kap sayısını en aza indirmek için, hacmi en büyük olan kaplardan (3. kap, $5z$) mümkün olduğunca fazla kullanmalıyız. $z$ için olası değerleri deneyelim:

• Durum 1: $z=2$ (3. kaplardan 2 adet)
• $5 \times 2 = 10$ litre kullanıldı.
• Kalan hacim: $18 - 10 = 8$ litre.
• Denklem: $2x + 3y = 8$. ($x \ge 1, y \ge 1$ olmalı)
• $y=2$ için ($3 \times 2 = 6$ litre): Kalan $8-6=2$ litre. $2x=2 \Rightarrow x=1$.
• Bu durumda $(x, y, z) = (1, 2, 2)$ olur. Toplam kap sayısı: $1+2+2 = \mathbf{5}$.
• Bu çözüm tüm koşulları sağlar.
• Durum 2: $z=1$ (3. kaplardan 1 adet)
• $5 \times 1 = 5$ litre kullanıldı.
• Kalan hacim: $18 - 5 = 13$ litre.
• Denklem: $2x + 3y = 13$. ($x \ge 1, y \ge 1$ olmalı)
• $y=3$ için ($3 \times 3 = 9$ litre): Kalan $13-9=4$ litre. $2x=4 \Rightarrow x=2$.
• Bu durumda $(x, y, z) = (2, 3, 1)$ olur. Toplam kap sayısı: $2+3+1 = 6$.
• $y=2$ için ($3 \times 2 = 6$ litre): Kalan $13-6=7$ litre. $2x=7 \Rightarrow x$ tam sayı değil.
• $y=1$ için ($3 \times 1 = 3$ litre): Kalan $13-3=10$ litre. $2x=10 \Rightarrow x=5$.
• Bu durumda $(x, y, z) = (5, 1, 1)$ olur. Toplam kap sayısı: $5+1+1 = 7$.
• Durum 3: $z \ge 3$
• Eğer $z=3$ ise ($5 \times 3 = 15$ litre): Kalan hacim $18-15=3$ litre. Denklem $2x+3y=3$.
• $x \ge 1, y \ge 1$ koşullarıyla bu denklemin çözümü yoktur (çünkü $y=1$ için $2x=0 \Rightarrow x=0$, bu da $x \ge 1$ koşulunu sağlamaz).
• $z$ daha büyük değerler aldığında da çözüm bulunamaz.

Bulduğumuz olası toplam kap sayıları 5, 6 ve 7'dir. Bu değerler arasında en küçüğü 5'tir.

Cevap B seçeneğidir.