Verilen tanıma göre, sayı doğrusu üzerindeki $x, y$ ve $z$ noktaları için $(x, y)_z$ gösterimi, $z$ noktasının $x$ ve $y$ noktalarına olan uzaklıklarının toplamını ifade eder. Matematiksel olarak bu, $|z-x| + |z-y|$ şeklinde yazılabilir.

Bize sorulan ifade $(\sqrt{2}, \sqrt{18})_{\sqrt{50}}$ şeklindedir. Burada:

• $x = \sqrt{2}$
• $y = \sqrt{18}$
• $z = \sqrt{50}$

Öncelikle karekökleri sadeleştirelim:

• $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

Şimdi bu değerleri tanıma göre formülde yerine koyalım:

$(x, y)_z = |z-x| + |z-y|$

$(\sqrt{2}, \sqrt{18})_{\sqrt{50}} = |5\sqrt{2} - \sqrt{2}| + |5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}|$

Mutlak değer içindeki ifadeleri hesaplayalım:

• $|5\sqrt{2} - \sqrt{2}| = |4\sqrt{2}| = 4\sqrt{2}$ (çünkü $4\sqrt{2}$ pozitif bir sayıdır)
• $|5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}| = |2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$ (çünkü $2\sqrt{2}$ pozitif bir sayıdır)

Son olarak bu iki değeri toplayalım:

$4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Cevap D seçeneğidir.