Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Verilen köklü ifadeleri sadeleştirelim.
  • ABC eşkenar üçgeninin çevresi: $\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ cm.
  • ACD ikizkenar üçgeninin çevresi: $\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$ cm.
• Adım 2: ABC eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğunu (AC) bulalım.
  • Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşittir: $|AB| = |BC| = |AC|$.
  • Çevre(ABC) = $3 \cdot |AC|$.
  • $3 \cdot |AC| = 9\sqrt{2}$ cm.
  • $|AC| = \frac{9\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2}$ cm.
• Adım 3: ACD ikizkenar üçgeninin çevresini kullanarak $|AD|$ uzunluğunu bulalım.
  • ACD üçgeni ikizkenar olduğundan $|AD| = |CD|$ verilmiştir.
  • Çevre(ACD) = $|AC| + |AD| + |CD|$.
  • Çevre(ACD) = $|AC| + 2 \cdot |AD|$.
  • Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: $11\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 2 \cdot |AD|$.
• Adım 4: $|AD|$ uzunluğunu hesaplayalım.
  • $2 \cdot |AD| = 11\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$.
  • $2 \cdot |AD| = 8\sqrt{2}$.
  • $|AD| = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ cm.
• Adım 5: $|AD|$ uzunluğunu seçeneklerdeki formata dönüştürelim.
  • $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$ cm.

Cevap A seçeneğidir.