Verilen ifadeyi adım adım sadeleştirelim ve ardından hangi seçenekle çarpıldığında sonucun bir doğal sayı olacağını bulalım.

• Adım 1: İfadeyi sadeleştirme

İlk olarak, parantez içindeki $\sqrt{270}$ ifadesini sadeleştirelim:

$$\sqrt{270} = \sqrt{9 \cdot 30} = 3\sqrt{30}$$

Şimdi bu değeri ana ifadeye yerine koyalım:

$$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{30} + \sqrt{270}) = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{30} + 3\sqrt{30})$$

Parantez içindeki terimleri toplayalım:

$$\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{30})$$

Çarpma işlemini yapalım:

$$4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{30} = 4\sqrt{2 \cdot 30} = 4\sqrt{60}$$

• Adım 2: Elde edilen ifadeyi daha fazla sadeleştirme

Şimdi $4\sqrt{60}$ ifadesini sadeleştirelim:

$$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$$

Bu değeri yerine koyarsak:

$$4\sqrt{60} = 4 \cdot (2\sqrt{15}) = 8\sqrt{15}$$

İşlemin sonucu $8\sqrt{15}$'tir.

• Adım 3: Sonucu doğal sayı yapan seçeneği bulma

Bir köklü ifadenin doğal sayı olması için, kök içindeki sayının tam kare olması gerekir. Bizim ifademiz $8\sqrt{15}$ olduğuna göre, bunu bir doğal sayı yapmak için $\sqrt{15}$'i kökten kurtarmamız gerekir. Bunun için $\sqrt{15}$ ile çarpmalıyız.

• A) $\sqrt{30}$: $8\sqrt{15} \cdot \sqrt{30} = 8\sqrt{450} = 8 \cdot 15\sqrt{2} = 120\sqrt{2}$ (Doğal sayı değil)
• B) $\sqrt{20}$: $8\sqrt{15} \cdot \sqrt{20} = 8\sqrt{300} = 8 \cdot 10\sqrt{3} = 80\sqrt{3}$ (Doğal sayı değil)
• C) $\sqrt{15}$: $8\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 8 \cdot 15 = 120$ (Bu bir doğal sayıdır)
• D) $\sqrt{10}$: $8\sqrt{15} \cdot \sqrt{10} = 8\sqrt{150} = 8 \cdot 5\sqrt{6} = 40\sqrt{6}$ (Doğal sayı değil)

Sonuç olarak, $8\sqrt{15}$ ifadesi $\sqrt{15}$ ile çarpıldığında bir doğal sayı elde edilir.

Cevap C seçeneğidir.