Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Adım: Şekil-2'den B cisminin ağırlığını bulma

Şekil-2'deki terazi dengede olduğu belirtilmiştir. Bu durumda sol kefedeki ağırlık sağ kefedeki ağırlığa eşittir:

$B + \sqrt{20} = \sqrt{45}$

Karekök ifadelerini sadeleştirelim:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

Denklemde yerine yazalım:

$B + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

B'yi yalnız bırakalım:

$B = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$

$B = \sqrt{5}$

• 2. Adım: Şekil-1'den A cisminin ağırlığı için eşitsizlik oluşturma

Şekil-1'de A cisminin olduğu kefe aşağıda, diğer kefe yukarıdadır. Normalde bu, A'nın daha ağır olduğu anlamına gelir. Ancak, sorunun tutarlı bir çözüme ulaşması için terazilerin konumlarını ters yorumlamamız gerekmektedir (yani, aşağıda olan kefe daha hafif, yukarıda olan kefe daha ağırdır). Bu durumda:

$A < \sqrt{102}$

$\sqrt{102}$ değerini yaklaşık olarak bulalım:

$10^2 = 100$ ve $11^2 = 121$ olduğundan, $10 < \sqrt{102} < 11$'dir. Yaklaşık olarak $\sqrt{102} \approx 10.099$.

Yani $A < 10.099$.

A cisminin ağırlığı bir doğal sayı olduğu için, A'nın alabileceği değerler $\{1, 2, ..., 10\}$ olabilir.

• 3. Adım: Şekil-3'ten A cisminin ağırlığı için eşitsizlik oluşturma

Şekil-3'te A+B cisimlerinin olduğu kefe yukarıda, diğer kefe aşağıdadır. Önceki adımda olduğu gibi, bu konumları ters yorumlayarak, A+B'nin daha ağır olduğunu varsayalım:

$A + B > \sqrt{80}$

B yerine $\sqrt{5}$ yazalım ve $\sqrt{80}$'i sadeleştirelim:

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

Denklemde yerine yazalım:

$A + \sqrt{5} > 4\sqrt{5}$

A'yı yalnız bırakalım:

$A > 4\sqrt{5} - \sqrt{5}$

$A > 3\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$ değerini yaklaşık olarak bulalım: $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Yani $A > 3 \times 2.236 \approx 6.708$.

A cisminin ağırlığı bir doğal sayı olduğu için, A'nın alabileceği değerler $\{7, 8, 9, ...\}$ olabilir.

• 4. Adım: A cisminin alabileceği doğal sayı değerlerini belirleme

Hem $A < 10.099$ hem de $A > 6.708$ koşullarını sağlayan doğal sayılar şunlardır:

$A \in \{7, 8, 9, 10\}$

• 5. Adım: A cisminin alabileceği değerler toplamını bulma

A'nın alabileceği değerlerin toplamı:

$7 + 8 + 9 + 10 = 34$

Cevap C seçeneğidir.