Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Hedef Tahtasındaki Puanları Belirleme: Hedef tahtasında $\sqrt{5}$, $\sqrt{3}$ ve $\sqrt{7}$ puanları verilmiştir. Soru işareti (?) ile gösterilen bölgenin puanı, genellikle bu tür sorularda eksik olan ardışık veya ilişkili bir sayı olur. Verilen seçenekler ve diğer puanlar göz önüne alındığında, eksik puanın $\sqrt{2}$ olduğu anlaşılmaktadır. Dolayısıyla, hedef tahtasındaki puanlar: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$'dir.
• 2. Toplam Puanın Hesaplanması: Ali 5 isabetli atış yapmıştır. Toplam puan, isabet edilen bölgelerdeki puanların çarpımıdır. Yani, Ali'nin alabileceği toplam puan $P = \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2} \cdot \sqrt{x_3} \cdot \sqrt{x_4} \cdot \sqrt{x_5}$ şeklinde olacaktır, burada her $x_i \in \{2, 3, 5, 7\}$'dir. Bu çarpım $\sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5}$ olarak yazılabilir. Bu durumda, karekök içindeki sayı ($N = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5$), 5 tane asal sayının (tekrarlı olabilir) çarpımı olmalıdır. Başka bir deyişle, $N$'nin asal çarpanlarına ayrılmış halinde, asal çarpanların üslerinin toplamı tam olarak 5 olmalıdır.
• 3. Seçenekleri Analiz Etme: Şimdi her bir seçenekteki sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve üslerin toplamını kontrol edelim:
  • A) $\sqrt{420}$: $420 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$. Üslerin toplamı $2+1+1+1 = 5$. Bu, 5 atışla elde edilebilir ($\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$).
  • B) $\sqrt{300}$: $300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2$. Üslerin toplamı $2+1+2 = 5$. Bu, 5 atışla elde edilebilir ($\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$).
  • C) $\sqrt{240}$: $240 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1$. Üslerin toplamı $4+1+1 = 6$. Bu sayı, 6 tane asal çarpanın çarpımıdır. Ali sadece 5 atış yaptığı için, karekök içindeki sayı 5 asal çarpanın çarpımı olmalıdır. Bu nedenle $\sqrt{240}$ Ali'nin alabileceği bir puan olamaz.
  • D) $\sqrt{180}$: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$. Üslerin toplamı $2+2+1 = 5$. Bu, 5 atışla elde edilebilir ($\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$).

Sonuç olarak, $\sqrt{240}$ seçeneğindeki 240 sayısının asal çarpanlarının üsleri toplamı 6 olduğu için, 5 atış sonucunda bu puan elde edilemez.

Cevap C seçeneğidir.